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Se le superficie F', F sono in corrispondenza [1, m], alle curve canoniche della: prima 

 {supposta di genere > 0) corrispondono curve speciali della seconda, componenti curve 

 canoniche insieme alla curva di coincidenza dell'involuzione !„ i cui gruppi corrispon- 

 dono sulla F ai punti della F'. 



È questa, come si vede, l'estensione del teorema già adoperato del signor Castel- 

 nuovo sulle involuzioni irrazionali appartenenti ad una curva, teorema che apparisce 

 come fondamentale nella teoria appena avviata di quelle involuzioni. 



Sia P il genere (geometrico) della F, e p il genere (geometrico) della F', ad ogni 

 curva canonica della F' corrisponde una curva che insieme ad H costituisce una 

 curva canonica di F, quindi P >j?: in particolare non può essere P;^=0 se non è 

 anche jj = 0. 



Sia ora ^ > 1, e quindi anche P > 1, e indichiamo con p'", P'" risp. i secondi 

 generi delle ¥', F, con b il numero dei punti d'incontro d'una curva canonica di F' 

 colla curva di diramazione (ossia quello delle intersezioni della curva di coincidenza 

 H con una curva residua), con t il genere della curva di diramazione su F' (o di 

 quello di coincidenza H su F), sia infine n il genere delle curve corrispondenti 

 sulla F a quelle canoniche di F'. 



Per il teorema di Castelnuovo, o per la formula di Zeuthen, si ha: 



2m (pW — 1) + b = 2(n — 1); 



per il teorema prima dimostrato si ha invece, in generale (adoperando la formula 

 che dà il genere d'una curva spezzata) 



PW = 7T — 1 4- T + ò, 



quindi sussiste in generale la relazione 



P(i) = m {pW _ 1) 4- T + |- b, 



la quale può considerarsi come un'estensione della nota formula di Zeuthen per le 

 corrispondenze [1 w] tra due curve. 



In qualche caso può essere P''' maggiore del numero indicato dalla formula 

 scritta se le curve corrispondenti su F a quelle canoniche di F' aumentate della H 

 non sono curve generiche (spezzate) del sistema canonico della F ossia una delle 

 componenti ha qualche punto multiplo in un punto semplice della superficie (o qualche 

 ipermolteplicità in un punto multiplo). 



2. Involuzioni razionali. — Diamo ora un breve cenno delle involuzioni I„ ra- 

 zionali; la superficie F sui punti della quale i gruppi della I^ sono rappresentati è 

 un piano (superficie razionale) e ad ogni rete omaloidica di esso corrisponde sulla 

 data superficie F una rete di curve di cui due s'intersecano in un gruppo della I^; 

 restringeremo a tali reti il nome di reti appartenenti all'involuzione. 



Una rete (C) appartenente all'involuzione !„ sia di genere n (il grado e m) e pos- 

 sieda s curve fondamentali Cj . . . C*, . . . C, aventi come residui s fasci risp. di gè- 



