BICEKCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 231 



nere Trj . . . tt^ . . . k, ; introdurremo i caratteri òj . . . \ . . . ò, definiti dall'ugua- 

 glianza 



òi = TT — IT/i 



e diremo ò^ la valenza della curva fondamentale C^. Il carattere b^ e legato semplice- 

 mente a quelli, altre volte introdotti, cioè il genere (virtuale) p* della C^ ed il suo 

 grado ih (numero delle intersezioni con una curva residua); infatti è 



It = TTa + P;, -|- 4 — 1 



quindi 



bh =^ 9h -\- ih — 1. 



Si facciano ora segare le curve C della rete dai piani di una stella col centro 0, 

 sulla superficie F, e sieno a^ ... a, le rette per (multiple o contenenti punti mul- 

 tipli per la F) che corrispondono alle curve fondamentali Cj . . . C,. Nell'involuzione 

 I„ ci sieno a gruppi dotati di due coincidenze staccate (di due punti doppi), e t gruppi 

 dotati d'un punto triplo (dove ne coincidono 3) : le a rette che proiettano da i primi 

 a gruppi sono corde per la curva di coincidenza di L, le x che proiettano i t gruppi 

 secondi sono tangenti per essa. 



Ora la curva di coincidenza sega un piano generico per in 2 {n -\- m — 1) 

 punti fuori di ed un piano per a» (fuori di a^) in 2 (tt^ -{- m — 1) punti, ossia la 

 «A ha colla curva Òa intersezioni. Proiettando dunque la detta curva di coincidenza 

 da sopra un piano, si avrà il suo genere dato da 



P = (2tt + 2m — 3) (tt -f m — 2) — i ò;, (2Òh — 1) — a — t. 



Si conclude che la quantità 



(2tt + 2m — 3) (iT + m — 2) — I ÒA {2bh — 1) (= a + t + P) 



ha lo stesso valore per tutte le reti appartenenti all'involuzione I^ ed è quindi essenzial- 

 mente un carattere della I„ anziché delle dette reti. Invero si osserverà che, pren- 

 dendo nel piano multiplo rappresentativo della I„ una rete omaloidica le cui curve 

 abbiano assai intersezioni con quella di diramazione, si avranno sulla F reti di ge- 

 nere grande quanto si vuole, appartenenti alla !„, e quindi separatamente i carat- 

 teri n, Òa non sono caratteri della I„. 



Esaminiamo brevemente il caso (m = 2) di una involuzione razionale Ig sopra 

 una superficie F. 



Le curve d'una rete (C) appartenente alla I2 sieno segate dai piani per sulla F. 

 Se M è l'ordine della F, le aggiunte d'ordine n — 4 alla F sono coni col vertice 

 in (che è {n -— 2) pio per la F), quindi : 



Se sopra una superficie vi è un'involuzione I2, le curve canoniche che passano per 

 un punto passano per il coniugato (1). 



(1) Questa proprietà è nota; infatti il sig. Castelnuovo (' Istituto lombardo ,, 1. e.) ha dimo- 

 strato che se vi fe un fascio di curve iperellittiche sopra una superficie d'ordine n, le aggiunte 

 d'ordine n- — 4 per un punto passano per il coniugato sulla curva iperellittica che lo contiene. Il 

 tipo di superficie di cui stiamo trattando è stato considerato per la prima volta dal sig. Noethek 

 C Math. Ann. „ Vili, 1. e). 



