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Secondo la relazione precedentemente scritta il genere della curva di coinci- 

 denza della I2 è 



P = (2n — 1) 7T — i bi (2bft — 1) 



dove TT è il genere d'una rete appartenente alla I2 (composta di curve iperellittiche) 

 e b;, è la valenza d'una sua curva fondamentale Ck {h = 1 . . . s). 



La rete (C) sia segata sulla F dai piani per ; una curva canonica sega una C 

 in 2 (tt ^ 1) — 2 {m = 2) punti, e quindi se w è l'ordine della F i coni aggiunti d'or- 

 dine n — -4 si spezzano nel cono (fisso) proiettante la curva doppia della superficie, 

 e in coni variabili d'ordine tt — 2. 



Se la Un è una retta per multipla secondo 9^ (0 semplice) per la F contenente 

 arbitrari punti multipli, un piano per la «^ è segato da una superficie d'ordine n — 4 

 aggiunta alla F secondo una curva d'ordine n — 0/. — 3 aggiunta alla sezione d'or- 

 dine n — Qk della F (tolta la a^) (cfr. cap. II, § 1); questa sezione è dunque segata 

 in 2 (ka — 1) punti da una curva canonica (essendo n^ il genere di essa), e però il 

 cono d'ordine n — 2, facente parte d'una aggiunta d'ordine n — 4 alla F, ha la 

 retta a^ come multipla secondo tt — 2 — (tt^ — 1) =bA — 1. 



Ora ogni curva C^ fondamentale per la rete (C) viene rappresentata da una tal 

 retta a^, da una retta per contenente un punto doppio isolato per la F ; in questo 

 2° caso il detto cono d'ordine ir — 2 non contiene in generale la retta congiungente 

 il punto doppio, e quindi si può dire ancora che la contiene colla molteplicità b/, — 1 

 = IT — TTft — 1 poiché TTfc = TT — 1. DunquB i coni d' ordine tt — 2 col vertice 

 seganti sulla F le curve canoniche sono assoggettati ad avere come (b^ — 1) pia ogni 

 retta per che corrisponde ad una curva C^ fondamentale per la rete (C), di va- 

 lenza b^. 



Indicando con p il genere (geometrico uguale al numerico) della F sussiste dunque 

 la relazione 



_ Tt (ti - 1) _ ^ bk [bk — 1) . 



^ ~~ 2 ^ 2 ' 



di qua si ricava 



4j> =^ 2tt (tt — 1) — I 2\ {K — 1) 



e confrontando coU'altra relazione trovata 



P = (2tT - 1) TT - I (2b, - 1) \, 

 si ha 



P — 4j) = TT — Z bi 



dove il secondo membro è uguale per tutte le reti che appartengono alla involuzione Ig. 



