294 V. MOLLAME 



di certe equazioni più generali dell'equazione (3). Se M (x) = è una di tali equa- 

 zioni, con ogni sua radice x appartenente al sistema (4) si può, mediante una deter- 

 minante funzione razionale 9 (x), formare la serie 



X, e (a;), Q-{x), , G"-' [x) 



i cui termini sono le radici di un'equazione abeliana reciproca, di grado pari n e 



n 



per la quale 0* {x) e 6 ''""2 {x) {k=^0, 1, 2, , n — 1) sono radici reciproche. 



Le radici (4), il cui numero v è multiplo di n, sono quelle di una equazione 

 r(a;)=0, di grado v, con coefficienti razionali rispetto a quelli dell'equazione M(x) = 0. 



In particolare, l'equazione 



n 

 xQ'^{x) =: 1, (5) 



nella quale n è un numero pari positivo, e 



a.^-+a.-i^--^ + ..... + ao 

 ^ -' «0 a;' + «1 ^ + + «>■ 



è una delle anzidette equazioni. Essa può divenir binomia, ed allora si riduce all'una 

 od all'altra delle seguenti 



n 



a;»- ^ + 1 = 1 , (6) 



n 



a;'- ^ + 1 = — 1 (7) 



nella seconda delle quali i numeri interi e positivi r ed -|- devonsi supporre dispari. 



Nel campo delle radici (4) trovansi le radici primitive delle equazioni (6) e (7) (*) 

 allorché ad una di esse si riduca l'equazione (5). 



Con le radici primitive dell'equazione (6), o della (7), si può comporre, come è 

 noto, un' equazione razionale, G [x) = 0, il cui primo membro è perciò un fattore 

 razionale di F (x), quando 1' equazione F (a;) = è quella che si ricava dalla (6) o 

 dalla (7). 



Se f{x) = e un'equazione abeliana reciproca di grado n, le cui radici siano 



rappresentabili con x, Q (x), Q^{x), , &"-^ (x), il numero n' nella radice 9^' (a;), 



che è reciproca dell'altra radice Xju, può essere o indipendente da n, e quindi dalla 

 scelta della radice diretta a;^, ovvero variare con |u. Dalla prima di queste due 

 ipotesi fondamentali scaturisce una classe di equazioni abeliane reciproche fra le quali 

 trovasi quella della divisione del cerchio: esse formano il soggetto della presente 

 memoria. 



(*) Per le radici primitive dell'equazione binomia a;"» = — 1 veggasi la mia Nota, Sulle radici 

 primitive dell'unità negativa (' Rendiconto della E. Accademia delle Scienze di Napoli „, Fascicolo 7° 

 a 12°, 1892). 



