SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 295 



§ 1. 



Sia 



fix) = (1) 



un'equazione di grado n, le cui radici, indicando con x una qualunque di esse, siano 

 rappresentate dai termini della serie 



X, Qx, e^x, , G'-ia;, (2) 



nella quale si è posto per brevità di scrittura 



e^ a; = e [e {x)], e' « = e (e' x], ecc. 



e si è denotata con 6 (a?) una funzione razionale di x, tale, che per ogni valore di x 

 che sia radice dell'equazione (1) risulti 



Q"x = X, (3) 



e 



Q^-^x non = x, (4) 



qualunque sia il numero v scelto nella serie 1, 2, 3, . . . , n — 1. 



In virtù delle ipotesi fatte sulle sue radici, l'equazione (1) è abeliana. Dalla 

 equazione (3) e dalla condizione (4) si deduce poi immediatamente che al numero k, 

 esponente di 6 in 6*^ x, se x è radice dell'equazione (1), si può aggiungere o togliere 

 un multiplo di n, e che da 9* a? = 9*' x segue che la differenza fra ^ e A;' deve essere 

 un multiplo dì n. 



La funzione 9 (x) si dirà funzione generatrice delle radici dell'equazione abeliana (1). 



Suppongasi inoltre che l'equazione (1) sia reciproca e, scelta una sua radice Xf/, , 

 ne sia Q^X/j, la radice reciproca. L'esponente n' di 9 in Q^x potrà essere o indi- 

 pendente da n, cioè dalla scelta della radice Xfi , o variare con questa. Dalla prima 

 di tali ipotesi fondamentali nasce una classe di equazioni abeliane reciproche che 

 formano il soggetto della presente memoria e che, per brevità di linguaggio, si 

 diranno equazioni abeliane della classe (I). 



Sia X una radice qualunque dell' equazione (1), supposta abeliana e della 

 classe (I), e 9'^ a;, ne sia la radice reciproca: sarà v indipendente da a;; e però se 

 nella serie (2) si imagini che all'ultimo termine segua il primo,- come al primo segue 



