296 V. MOLLAME 



§ 1. 



il secondo e cosi via, le radici reciproche seguiranno ad intervalli uguali le radici 

 dirette ; e , come applicando v volte 1' operazione 6 si passa dalla radice x alla 

 radice reciproca 6^ x, così applicando v volte la stessa operazione alla radice 0^ x si 

 passerà da 9^ x alla radice reciproca di 6^ x, cioè si tornerà alla radice x. Si ha quindi 



e a; = a; 



e perciò 2v deve essere un multiplo di n. Or essendo v uno degli esponenti di 

 nella serie (2), si ha v 2 w — 1 ; per la qual cosa il multiplo di n che può essere 

 uguale a 2v è zero, ovvero è w. Se è 2v = 0, cioè v = 0, allora ogni radice del- 

 l'equazione (1) è reciproca di sé stessa, e quindi quella equazione non ha altre radici 

 che -\- 1, — • 1. Questo caso che non offre nulla degno di nota non sarà preso in 

 considerazione e rimane perciò a porre soltanto 2v := n. Adunque la radice reciproca 



n 



di a; è 0^ a;, qualunque sia a;, cioè si deve avere 



-k 



e*a; 02^ a; = 1, (3) 



per ogni radice x dell'equazione (1) e per ogni valore finito del numero intero e 

 positivo le. 



Si può quindi conchiudere che: 



he equazioni abeliane della classe (I) sono di grado pari; e se Q (x) è la funzione 

 generatrice delle loro radici, ognuna di queste deve soddisfare l'equazione (3). 



s 



