S0LI,E EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 297 



Nelle ricerche ulteriori si presenta il problema seguente, del quale si premette 

 ora qui la soluzione. 



Determinare la forma generale di una funzione razionale 6 (x) che goda la pro- 

 prietà espressa dall'equazione identica 



e(^)e(^) = i. (1) 



Pongasi 



Q ( \ __ Or a'' + Or-i a'-^ + ■ ■ . + ai a; + gp F A(a:) ~] 



^ ' bscc" + fe-i a;'-i + . . . + 6, a: + &„ L~~ B (a;) J ' 



e le funzioni intere A {x), B (x) si suppongano prive di fattori comuni e decomposte 

 in fattori lineari. Allora 6 {x) assumerà la forma seguente 



Q /„\ «r jx — Xi) {X—X2) ... (x — Xr) ,n\ 



" ^^^ — bs{x- H.) (,, _ S,) . . . {^_ S,) *^J 



nella quale una £„ non può essere uguale ad una x/ì. Baila. (2) si ha che 



rt /J_\ arjl — xix) (1 — a;2 a;) . . . (1 — av a;) ^_^ ,„> 



la'J""' h{l~iixil-hx) ... {l — i,x) ^ ' ^^^ 



e però l'identità (1) in virtù delle (2) e (3) diviene 



ctr^ {x — xi) {x — X2) ... {x — Xt) (1 — a;i a;) (1 — x^x'^ ... (1 — Xr x) ,_,. .. ,,^ 



h\x — Zi){x — i^)...ix — is)(l—iix)il—'Ì2x)...{l—hx) ^ ~ '■• ^^> 



n numeratore della precedente frazione si annulla per x := x/ì {^ ^ 1, 2, ..., r), 

 ed è Xfi una quantità finita, perciò deve annullarsi anche il denominatore; e siccome 

 una 2^ non può essere uguale ad una Xjì , così nessuno dei primi s fattori di quel 

 denominatore può annullarsi per a; = a?^ . Tale annullamento deve adunque essere 

 prodotto da qualcuno dei rimanenti fattori. Se è 1 — aj^s 2^ = 0, si avrà 



^« ~ «« ' 



Seme II. Tom. XLIV. 



