SULLE EQUAZIONI ABELTANE RECIPROCHE 



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§3. 



Sia f{x) = un'equazione di grado n, abeliana e della classe (I). E però ogni 

 sua radice dovrà soddisfare anche le equazioni 



e'aje*^^» =1, (1) 



Q»x = X, (2) 



nella prima delle quali il numero intero e positivo k può ricevere qualunque valore 

 finito. Cambiando A; in ^ -| — p- , l'equazione (1) non muta per ogni sua radice che 

 verifichi anche l'equazione (2): quindi dall'equazione (1) si ottengono equazioni fra 

 loro differenti solo per gli -|- valori 0, 1, 2, . . . , -^ — 1 di A;. TaK equazioni, in- 

 sieme alla (2), formano un sistema di ^ -]- 1 equazioni alle quali, come fu detto, 

 devono appartenere le n radici ài f{x) = 0. Questo sistema può sostituirsi con quello 



, -^ — le dal- 



formato dalle -|- equazioni ricavate dalla (1) per k= 0, 1, 2, . . 

 l'altra fornita dalla stessa (1) per fe = ^ ; cioè dalla seguente 



e^aje-a; = 1. 

 Imperocché da questa equazione, paragonata con l'altra 



xQ^x 



1 



(3) 



che si ha dalla (1) per fc = 0, si deduce 1' equazione (2). Sicché le n radici di 

 Z' (a;) = devono esser comuni alle seguenti ^ + 1 equazioni 



a;e2a; = l 



ea; e^^'a; = 1 



e^a;e2 X = 1 



(4) 



Q^xQ'^x^l 



le quali mostrano immediatamente: 1° che se x' è una loro radice comune, sarà pur 

 tale ciascuna delle quantità 9 x', Gi^x', , 6"-' x'; 2" che 6" a;' riproduce a?'; 3° che 



