300 



V. MOLLAME 



§ 3. 



''+^ 



le radici 9* a;' e 6 ^ x' sono fra loro reciproche. In conseguenza di ciò, se n è il 

 più piccolo degli esponenti v di , per i quali si ha 9'*' x' = x', allora i termini 

 della serie 



x', Qx', Q^x', , 9"-i x' 



saranno le radici di un'equazione f{x)^=0 di grado n , abeliana e della classe (I). 

 Per la composizione di un'equazione della specie ài f{x) =^ è dunque mestieri 



innanzi tutto che la funzione razionale 9 {x) sia determinata in guisa che le -|- -j- 1 

 equazioni (4) abbiano una radice comune. 



Al sistema (4) può sostituirsi anche il seguente 





X 



92 



X - 



— 



1 



e 



X 



9 



1 



X 



= 



1 



9= 



X 



9^ 



1 



X 



= 



: 1 



n 



0^ 



X 



n 



9^ 



X 







-- 1; 



(5) 



giacche per ogni radice x comune alle equazioni (4) si può in quelle sostituire 



a ^ a; la quantità eguale — , tratta daUa prima di esse , ed allora il sistema (4) 

 si riduce al sistema (5). Viceversa dal sistema (5) si deduce il sistema (4) col sosti- 



n 



tuire nelle equazioni che seguono la prima delle (5) ad -^ il ^^o valore Q ^ x tratto 



da quella equazione. Il sistema (5) è piìi semplice del sistema (4), se si tien conto 

 del numero di volte che devesi applicare 1' operazione 9 ; essendo tal numero nel 

 sistema (5) minore di quello relativo al sistema (4). 



Esprimendo che le ^ -f- 1 equazioni (5) hanno una radice comune, si ottengono, 

 al più, -|- equazioni diverse, razionali nel campo dei coefficienti di (x), alle quali 



soltanto devono soddisfare i coefficienti di qualunque funzione {x) razionale in x, 

 se essa si voglia assumere come funzione generatrice di un' equazione di grado n 

 abeliana e della classe (I). 



Sul grado della funzione {x), se essa è intera, sui gradi del numeratore e 

 del denominatore di (x), se essa è frazionaria, si può notare quanto segue. 



Sia (x) funzione intera di x, per es. 



(x) = a, a;'' -|- ar-i x'^~^ -\- -|- «p ajP ; 



sarà ff^ix) del grado r'^ ed a^" ne sarà il termine di minor grado. 



