SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 301 



§3. 



Perciò in 9^ — 1 il numeratore è di grado r^ — p^ ed il denominatore di 



grado r^ . Adunque, se per brevità di scrittura si rappresenta con (|u, n') una fun- 

 zione algebrica fratta della quale ili e |u' sono i gradi del numeratore e del deno- 

 minatore, si avrà 



Qy{x) = {f , 0) 



Per la qual cosa, i gradi delle equazioni (5), ridotte a forma intera, sono dati, ordi- 



n 



natamente, dai numeri r ^ -\- 1, 2r — p, 2r^ — p^, ecc. Quindi, affinchè le n radici 

 x', e a;', 9" «', 9"~^ x' comuni alle equazioni (5) possano essere fra loro disu- 

 guali, è necessario che o nessuno dei precedenti gradi sia minore di n, la qual cosa 

 importa che sia r > 1, come è chiaro, ovvero che si convertano in identità quelle 

 equazioni i cui gradi risultano minori di n. 

 Ora si ha 



^^ — 1 



dove e è una quantità positiva diversa da zero, se -|- > 2 : e perciò risulta in tal caso 



— r —-il 



r ^ > 1 + I [r - 1 + (^ - 1) 2 J . 



Se in questa relazione ad r — 1 (> 1) si sostituisce 1, si ottiene l'altra 



» 

 r ^ > n -\- 1 



e quindi si conchiude che 



n 



r'^ -\- 1 è w + 1, 



dove il segno = si riferisce solo alle ipotesi (•|- = 2, r = 2) , (^=1, r = 2]. 



Adunque il grado della prima delle equazioni (5) non è mai inferiore ad n. Delle 

 equazioni rimanenti poi, la seconda è quella di grado minore: giacche i gradi di 

 tali equazioni, per p = r, sono dati dai numeri crescenti r, r^, r^, ecc. e per^ < r, 

 dall'identità 



r-^ — f = {r — p) (r^-i + r''-^ p + + -p"-^) 



