302 V. MOLLAME 



§3. 



segue che al crescere di v cresce la diiferenza r'^ — p^ e quindi cresce vieppiù l'altra 

 differenza 2r^ — p^ ; sicché i gradi delle equazioni che seguono la prima delle (5) 

 sono sempre crescenti, e la seconda di dette equazioni ha perciò il grado minore, 

 2r — p. dunque deve essere 2r — p^ n, ovvero, se 



2r — p < n, 



e le predette n radici x', Qx', Q^ x', , 9"""^ x' sono fra loro disuguali, deve la 



seconda delle equazioni (5) convertirsi in una identità; nel qual caso avverrà altret- 

 tanto di tutte le equazioni che seguono quella, in virtìi della proposizione enunciata 

 in fine del § precedente ; ed allora la funzione intera G (x) deve avere per espressione 

 quella riportata nel detto §. Tale espressione intanto non può ridursi a forma intera 



se non per ao ^ «i = = «r— i = : in tal caso si avrà 9 (a;) =^ ± a?"" e la 



prima delle equazioni (5) diverrà un'equazione binomia, x"" = + 1. In conseguenza 



le radici x', 9 x', %^x', 9"~' x' di essa, cioè di /■ (x) = sono radici dell'unità 



reale, positiva o negativa. Si conchiude perciò che 

 Se 2r — p < n, la funzione intera 



ar X^ -\- ttr-l X^~'^ -f- -|- fflj, «P 



si può solo allora assumere come generatrice di un'equazione f (x) :=: 0, abeliana, della 



classe (I) e di grado n, quando ap = ap_i = ar— i = ec^ ar = ± 1 ; cioè quando 



quella funzione si riduce alla potenza x'. In tal caso le radici di f (x) = sono 

 radici dell'unità reale, positiva o negativa. 



Sia 9 {x) una funzione frazionaria, per es. 



Q ( \ Or a;'' + ar-l Xr-l + + «Q r . fr(x) ~] 



" ^-"^ ~- b,x' + h-x x^-i + + h[_~ g. x)_\ ■ 



I gradi >• ed s non si possono supporre entrambi uguali ad 1 ; altrimenti le 

 equazioni (5) risulterebbero tutte del secondo grado. Ora si ha: 



o2 (^\ ar fV + ar-l fr*-^ ffi + + ao 9^' s-r . 



^""^ ~ bs fr^ + 6,-1 fr'-i g, + +hog.^ ^' ' 



e quindi, se è r > s, la potenza 5',*"'' figurerà nel denominatore di 9^(a;) con l'espo- 

 nente positivo r — s. In tal caso il numeratore di Q^{x) risulta di grado r^, rispetto 

 ad X, ed il denominatore di grado 2rs — s'. Se invece e r -^ s ed a„, b„ non = 0, U 

 numeratore ed il denominatore di 9' {x) risultano entrambi di grado s^ : sicché si avrà, 

 secondo la precedente notazione 



e {x) = (r, s) 



Q\x) = {r^ 2rs — s% r > s 



e'(a!) = (s^ s'), r^t. 



