SULLE EQUAZIONI ABELUNE KECIPROCHE 308 



§3. 



Siccome poi con r > s si ha pure 2r — s > 1 , cioè 2rs — s' > s ed è in ogni 

 caso r^ > 2rs — s^, così ponendo 



Q^x] = (/, s'), 



si ha che da Q{x), con la condizione r ^ s, si arriva a 9^(a;)[=(r', s')] dove è pure 

 verificata la condizione r' >■ s', la quale perciò sarà verificata in Q'{x) per qualunque 

 valore intero e positivo di v. Oltre a ciò, come a motivo di r > s in Q{x) si è avuto 

 r' > r ed s' > s, così da r' > s' in Q^(x) si avrà r" > r' ed s" > s' in Q^{x) e così via. 

 Si ha pure, per «„, ò„ non := 



= (r, >•) 



= (r^ r^) 



r ^ s 



4-) = («-^) 



a; 



r < S 



Q^i-L\ = (s^s^) 



e si può quindi conchiudere che il grado del numeratore e quello del denominatore di 



e'j— sono uguali fra loro e crescono con v, così come avviene in B"{x). Adunque 



la seconda delle equazioni (5), anche nel caso che Q{x) sia una funzione fratta per 

 la quale «„, b„ non ^ 0, è quella che ha il minor grado fra le equazioni che seguono 

 la prima. Tal grado è dato da 2r se r > s, ovvero da 2s se s > r. Quindi se le n 

 radici x', Qx', Q'^x', ... , G^-^aj' comuni alle equazioni (5) debbono essere fra loro disu- 

 guali, è necessario che il grado 2r, o 2s, della seconda di quelle equazioni non sia 

 minore di n. Nel caso contrario, cioè quando il maggiore dei numeri »• ed s, o uno di 



essi, se sono uguali, è minore di -^, la seconda delle equazioni (5), e come conse- 

 guenza tutte le rimanenti, debbonsi convertire in altrettante identità. La funzione 

 G(a;) in tal caso sarà quella determinata nel § precedente; in essa i coefficienti 

 a„ ed a, devonsi supporre diversi da zero, altrimenti o il numeratore, o il denominatore 

 di 6 {x) sarebbero privi del termine indipendente da x, ciò che in principio si è per 

 ipotesi escluso. Si conchiude adunque che: 



Supponendo a^, b» non = 0, se è r § s, Za funzione 



Or X^ -\- Or— I a:*""^ -j- -\- ao 



h, 3^ + K-i x'-^ + -\- bo 



nell'ipotesi di r, s < -^ non può assumersi come funzione generatrice delle radici di 

 un'equazione abeliana di grado n e della classe (I). Ciò può farsi o quando il maggiore 

 dei due numeri r, s non è minore di -^, omero quando r = s. In. quest'ultimo caso deve 



