304 V. MOLLAME 



§ 3. 



essere b, = ± a„, b^ = ± ai, , b„ = ± ar, convenendosi di prendere costante- 

 mente l'uno l'altro dei segni ±. 



In particolare se 9 {x) sia stata determinata in guisa che le equazioni (5) abbiano 

 una radice comune e che qualcuna di quelle equazioni risulti di grado n, essa sarà 

 un'equazione della specie di f{x) = 0, purché non abbia radici uguali. 



In generale, dopo aver determinata la funzione 6 (x) in modo che le equazioni (5) 

 abbiano una radice comune, sia M.{x) il massimo comun divisore dei primi membri 

 di quelle equazioni ridotte a forma intera e con uno dei membri uguale a zero. Con 

 ogni radice dell'equazione M.{x) = si può formare la serie 



x', Qx', ev, ... , 

 nella quale è 



Q'x' = x' 



e*a;' e 2 ^' = 1; 



e però se nella precedente serie avviene che &"x' è il primo di quei termini che 

 riproducono x', saranno x', Qx', Q^x', ... , 9"~'a;' radici di M(a;) = con le quali si 

 può comporre un'equazione di grado n, della specie di f{x) = 0. Se dunque si sop- 

 prime da M.(x) = ogni radice x" per la quale nella serie x" , Qx", Q^x",... non 

 è 9" a;" il primo di quei termini che riproducono x", l'equazione cui si perviene sarà 

 decomponibile in equazioni che hanno i caratteri di f{x) = e che sono tutte quelle 

 che nascono per effetto della determinazione ricevuta dalla funzione generatrice Q(x). 

 Per sopprimere dall'equazione M(a;) = la radice x", comune a tutte le equazioni (5), 

 basterà sopprimerla da una qualunque di esse. A tal fine è sufficiente sopprimere da 

 una delle equazioni (5) ogni sua radice x che sia comune a qualche altra di dette 

 equazioni e per la quale si abbia Q'^'x ;= x per n' < n. Scelgansi, per es., la prima e 

 l'ultima delle (5), o, ciò che è lo stesso, le equazioni (3) e (2). 



È facile vedere innanzi tutto che una radice x comune alle equazioni (3), (2) 

 ed a qualche equazione, 



xQ^x = 1, (6) 



della stessa forma della (3), ma con un esponente -|- di 9 minore di y, è da sop- 

 primersi da una delle equazioni (3) e (2), per es. dalla (3) : giacche per una tale 

 radice risulta 



e^'x = X (7) 



con n' < n. In effetti, per ogni radice x comune alle equazioni (3) e (6) risulta 



q'^x = Q^x; (8) 



