SOLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 305 



§3. 



n n' 



or applicando una volta l'operazione G ^ ed un'altra l'operazione G ^ ad ambo i membri 

 della (8), e tenendo presente l'equazione (2), che per ipotesi è pur essa verificata 

 dalla radice x in discorso, si avrà, rispettivamente, 



n-\-n' 



5 = 



6 



2 



X 



« + »' 

 1 ^ 



X ■ 







G"'a!; 



e dal confronto di queste due equazioni si ottiene la (7). 



In generale, nella presente quistione basta considerare quelle soltanto delle 

 equazioni (6), nelle quali n' è un divisore (pari) di n, minore di n, che dà un quo- 

 ziente dispari. Sia infatto x una radice delle equazioni (3) e (2) che verifichi anche 

 qualche equazione della forma (2) ma con un esponente di G minore di n. Di tali 

 equazioni sia 



Q'-x = X (9) 



quella nella quale G ha il piìi piccolo esponente: in tal caso dovrà essere a un di- 

 visore di n ; altrimenti , posto w = av -|- |n, dove v e ]u sono il quoziente ed il resto 

 della divisione di « per a, l'equazione (2), cioè la seguente 



G^^G'^a; = x, 

 per ogni sua radice che soddisfi anche la (9) diviene 



Qf^X = X, 



e questa, essendo fi < a, mostra non esser la (9) quella fra le anzidette equazioni 

 nella quale è a il pivi piccolo esponente di G, ciò che è contro l'ipotesi. 



Adunque essendo |a = ed w = av, l'equazione (3) può scriversi 



xQ^x = 1. (10) 



Il numero v può essere pari o impari; nel primo caso, essendo -^a un multiplo 



di a, l'equazione (10), cioè la (3), per ogni sua radice che verifichi anche la (9) si 

 si riduce alla seguente ** 



x' ^1, (11) 



e si conchiude che se a è un divisore di n che dà un quoziente pari (in particolare 

 se a = 1) le radici che le equazioni (3) e (2) possono avere comuni con la (9) sono 

 le radici -[-lo — 1 dell'equazione (11). Tali radici devonsi perciò sopprimere dall'e- 



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