306 V. MOLLAME 



§ 3. 



quazione (3), quando vi siano. Sicché nell'equazione (9) è da considerarsi solo il caso 

 in cui a è un divisore di n die dà un quoziente dispari v. 



Sia V = 2è -|- 1; in conseguenza a deve essere pari. L'equazione (10), cioè 

 la (3), si può scrivere 



a 



xQ^ e'"'x = 1, 



e questa, per ógni sua radice che verifichi anche la (9), diviene la seguente 



a 



xQ'^x — 1 (12) 



nella quale, come fu detto, a è un divisore (pari) di n, minore di n, che dà un 



quoziente dispari; ovvero nella quale -^ è un divisore di n, minore di ^ che dà 



un quoziente pari. 



Si può ora enunciare il seguente 



Teorema. — La funzione razionale 9(x) sia tale che Ze — -|- 1 equazioni (5) 



[o (4)] abbiano una radice comune. Dall'equazione (3) si sopprimano tutte quelle radici 

 che essa ha in comune con altre equazioni della stessa sua forma ma con esponenti di 9 



minori di -^, e 0(x) = sia l'equazione che ne risulta. Ridotte a zero ed a forma 



LI 



intera le equazioni 6(x) = e quelle che seguono la prima delle (5), sia F(x) il mas- 

 simo comun divisore dei loro primi membri; l'equazione 



F(x) = (13) 



sarà decomponibile in equazioni di grado r\., abeliane e della classe (I); per le quali 9(x) 

 è la funzione che genera le radici. 



Se si sopprimono dall'equazione (8) le radici -[- 1 e — 1, quando vi siano, allora 

 delle anzidette equazioni aventi la forma della (3), ma con esponente di 9 minore di 



^, basterà prendere in esame quelle soltanto nelle quali, come nella (12), a, è un divi- 

 sore (pari) di n, minore di n che dà un quoziente dispari: cioè quelle nelle quali l'espo- 

 nente di Q è un divisore di n, minore di —, che dà un quoziente pari. 



Non esistono altre equazioni abeliane della classe (I) oltre quelle ottenute nell'anzi- 

 detto modo. 



