308 V. MOLLAME 



§4. 



L'equazione (2), se Q{x) ha per espressione quella indicata nel teorema prece- 



n 



dente, è di grado r^ -\- 1. Essa, se la formola che dà Q{x) si prende col segno -j-, 

 ha la radice x = 1, qualunque sia r; ha inoltre la radice a; == — 1 se r è dispari. 



n n n 



Imperocché essendo attualmente Q^x Q^— = 1, identicamente, ne segue che Q^x 



avrà un'espressione della stessa forma di quella della funzione 6 (x) determinata nel 

 § 2; quindi l'equazione (2) potrà mettersi sotto la forma seguente 



— boX'+hx'-'+ + h-ix + b. 'V 



e sarà verificata da a; = 1, se si prende il segno -j- nel primo membro, qualunque 

 sia il valore di s e quindi di r: se poi s, e quindi r, è impari quell'equazione, nel- 

 l'ipotesi del segno -]-, sarà verificata anche da a; ^ — 1. 



Se poi si sceglie il segno — nel primo membro dell'equazione precedente, essa 

 ha la radice a; = -(- 1, o l'altra a; = — 1, secondo che r è dispari o pari. 



Così, posto 



w = 4, r = 2 



P ;= ax^ -\- bx -\- e, 



Q = cx'^ -\- bx -\- a, 



e(x) = ± f, 



le equazioni biquadratiche seguenti 



iax — e)P^ + b{x — 1) PQ + {ex — a) Q^ _ „ 

 X - 1 ~" ^' 



(ax + c)P^ + b{x + 1) PQ + {ex + a) Q^ _ ^ 

 x + 1 — ^' 



sono abeliane della classe (I) ed hanno per funzione generatrice delle loro radici 



P P 



[9(a;) =] 4" -j=r. IH^) =ì — tti rispettivamente. 



ordine n di quella equazione. Con ciascuna di tali radici può comporsi un'equazione abeliana di 

 grado n e della classe (I). Nel campo di queste radici trovansi le radici primitive dell'equazione 

 in discorso, quando essa si riduce ad un'equazione binomia, come sarà in seguito dimostrato. 



n 



Le rimanenti radici dell'equazione xQ^ x = 1, salvo -|-1, — 1, appartengono ad equazioni della 



forma x^^ x = 1 dove a è un divisore di n, minore di n, che dà un quoziente dispari [§ (3)]; e 

 però se M è della forma 2f* , e solo allora, le radici dell'equazione in discorso, che diviene 



«.8^"-^. = !, 



sono tutte abeliane, tranne -\-\, o — 1. 



