S0LLB EQUAZIONI ABBLIANH RECIPROCHE 309 



Alle equazioni abeliane della classe (!) considerate nel § precedente apparten- 

 gono, come caso particolare, quelle le cui radici sono radici dell'unità, positiva, o 

 negativa. Per l'indagine di tali equazioni è necessario ricorrere ai teoremi (A) e (B) 

 che seguono. 



Teorema (A). — In ognuna delle equazioni binomìe 



x" = 1 (1) 



a;-" = — 1 (2) 



se una radice, Xj, è funzione razionale di un'altra, X;, si potrà esprimere Xj come po- 

 tenza con esponente intero e positivo di x,. 



In effetto se a è una radice primitiva dell'equazione (1), si potranno esprimere Xi 

 ed Xi come potenze di a, con esponenti interi e positivi, siccome è noto. Sia 



xi = aP, Xi = a' ; (3) 



si avrà allora 



X2 = XiP; (4) 



e quindi se x^ è funzione razionale di x^ dovrà essere q multiplo di p: per es. q =^pr; 

 in tal caso la relazione (4) diviene ♦ 



Xi = a^i'' (5) 



ed il teorema precedente rimane dimostrato per l'equazione (1). 



Estesa poi la definizione di radice primitiva dell'equazione (1) anche all'equa- 

 zione (2) si ha che: 



Se a è una radice primitiva dell'equazione (2), i termini della serie 



esprimono tutte le radici dell'equazione (2) (*). 



In conseguenza le relazioni (3) relative all'equazione (1) e le altre (4) e (5) che 

 da quelle scaturiscono sono vere anche nel caso dell'equazione (2). Dopo ciò il pre- 

 cedente teorema rimane provato anche per l'equazione (2). 



(*) Questo teorema trovasi dimostrato nella " Nota „ : Sulle radici primitive dell'unità negativa, 

 già innanzi citata. Tale nota, alla quale spesso si ricorre nella presente Memoria, sarà detta, per 

 brevità, Nota A. 



