310 V. MOLLAME 



§ 5. 



Il numero intero r == — j nella relazione (5) può risultare maggiore di m, nel 



caso dell'equazione (2); giacché gli esponenti p e q variano da 1 a 2ot — 1. In tal 

 caso se per es. è r^m-{-r', la relazione (5); ponendovi — 1 in luogo dia;'" diviene 



X, ^ — x/. (6) 



Suppongasi ora che la funzione Q{x) sia stata determinata in guisa che le equa- 

 zioni (5) del § 3 abbiano una radice comune x: esse avranno comuni anche le radici 

 Qx, Q"x, ecc. In virtìi della detta determinazione, Q{x) assuma una forma tale che 

 l'equazione 



• n 



xQ^x =1, (7) 



cioè la prima delle (5) del § 3, si riduca ad un'equazione binomia: ciò che può 



n 



avvenire solo se Q'^x è una potenza di x, per es. se 



n 



e^a; = ± x\ 



In tal caso l'equazione (7) diviene 



^v+i ^ ± 1 . (7') 



e siccome se a; è una radice della precedente equazione, cioè della (7), anche e(a;) è 

 radice della stessa, così a motivo delle relazioni (5) e (6) alle quali ha dato luogo 

 il teorema (A), la funzione razionale d{x) che esprime una radice dell'equazione bi- 

 nomia (7') mediante un'altra x può mettersi sotto la forma 



e(a;) = ± x' (8) 



dove r è un numero intero che si può sempre supporre minore di v -|- 1. 



E però da una parte le equazioni che seguono la prima delle (5) del § 3 attual- 

 mente diventano tutte identiche, per virtìi della forma (8) di Q{x), e dall'altra l'espres- 

 sione di Q{x) rientra in quelle che emanano dalla formola (7) del § 2. Adunque 

 l'equazione ¥{x) = considerata nel teorema del § 4 è decomponibile, presentemente, 

 in equazioni abeliane della classe (I) e di grado n, le cui radici sono tutte radici 

 d'un medesimo indice o dell'unità positiva o dell'unità negativa. 



Viceversa poi se 0(a;) assume la forma (8), allora l'equazione (7) si riduce ad 

 un'equazione binomia e precisamente alla seguente 



TI 



a;'-"^+i=l, (9) 



se nella (8) si sceglie il segno -|-; e se invece si sceglie il segno — , si trova che 



