SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 311 



§ 5. 



q'^x = (— lyx"' 



dove 



e = 1 + r + r' +...+ r'^"\ 



e che l'equazione (7) si cangia nell'altra 



{—lfx'''' + ' = 1, 



la quale non è diversa dall'equazione (9) se e è pari, cioè se r è dispari ed |^ è pari. 



La precedente equazione è invece diversa dalla (9) se e è dispari: nel quale caso 

 essa diviene 



fi n 



a;'-^+i = -l. (10) 



Sorge qui l'opportunità di considerare separatamente le due ipotesi di r dispari 

 pari. 



Se r è dispari, allora e che è somma di -^ numeri dispari risulterà dispari solo 



quando ^ è pur tale. 



Se r è pari il numero e è sempre dispari qualunque sia n. Adunque prendendo 

 il segno — nell'espressione (8) di Q{x) si otterrà dalla (7) l'equazione (10), invece 



della (9), solo allorquando è r pari, ovvero r ed -^ sono entrambi dispari. 



Oltre alle equazioni abeliane della classe (I) aventi per radici le radici dell'unità 

 positiva dell'unità negativa, e che si ottengono come poc'anzi fu detto, non ne 

 esistono altre. La verità di questa asserzione poggia sul seguente 



Teorema (B). — Se una radice Xi dell'equazione 



a;™ = ± 1 



I 



è funzione razionale di una radice s.^ dell'altra equazione 



± 1 



dovrà essere Xi tma potenza, positiva o negativa, con esponente intero, di Xj. 

 In fatto da 



xr = ± 1, 



X,"'' = ± 1, 

 si deduce che 



