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V. 



MOLLAME 





§ 5. 



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= a;/»"' 



e che 



a;, = ± aJs™. 



Se dunque Xi e funzione razionale di x^ deve essere m' multiplo di m. C. D. D. 

 Segue dal precedente teorema e dal teorema (A) che se un'equazione f{x) = 

 ha per radici i termini della serie 



X, ex, Q^x, . . . , e"-'a;, {Q"x = x) 



nella quale è Q{x) una funzione razionale ài x, q se x e Q{x) sono radici dell'unità 

 positiva, negativa, dovrà essere Q{x) una potenza positiva, o negativa di x: e però 

 6{x) dovrà avere un'espressione della forma (8). Quindi l'equazione 9"a; = x alla 

 quale deve soddisfare ogni radice di f[x) = 0, diviene l'una o l'altra delle seguenti 



a;--"- 1=^1, x""-'^-!, 



le quali provano che le radici di f{x) = sono tutte radici con uno stesso indice, 

 dell'unità positiva, o dell'unità negativa. 



Inoltre, se 1' equazione f{x) ^ è reciproca , allora la (7), alla quale devono 

 pur soddisfare le radici di f{x) = 0, diviene l'equazione (9), o l'equazione (10). Si può 

 quindi conchiudere il seguente 



Teorema I. — Le equazioni abeliane della classe (!) e di grado n che hanno per 

 radici le radici dell'unità positiva^ o negativa, sono quelle sole che si possono ottenere 

 mediante l'equazione binomia (9), qualunque siano i numeri interi e positivi r ed n, o 



mediante l'equazione binomia (10) allorché r è pari, oppure allorché ^ &d -^ sono entrambi 



Il processo dichiarato nel teorema del § 3 sull'equazione generale (3) di quel § 

 serve a comporre le equazioni menzionate nel teorema precedente; ed a tal fine quel 

 processo verrà in seguito sottoposto ad ulteriori considerazioni. 



Per le equazioni che si ottengono mediante la (9) la funzione Q{x) generatrice 



delle radici è espressa da x", qualunque siano r ed ^ : se poi r è dispari ed -^ è 

 pari, allora e(a;) può avere per espressione sia x'' che — x\ Per le altre equazioni 

 ottenute mediante la (10), nella quale deve essere r pari, ovvero r ed -^ entrambi 



Ci 



dispari, la funzione 0(a;) è espressa da — x'. 



In particolare suppongasi che w -|- 1 sia numero primo, ed r ne sia una radice 

 primitiva: sarà allora 



r" = 1 mod. {n -j- 1) 



e quindi 



