SULLE EQUAZIONI ABELUNE RECIPROCHE 313 



§ 5- 

 r" — 1 = multiplo {n -\- 1), 



ossia 



1/ \r^ — 1/ = multiplo {n -\- 1). 



Il numero n -\- \ dovendo dividere il primo membro della precedente egua- 

 glianza e non potendone dividere il fattore r^ — 1, altrimenti non sarebbe r radice 



n 



primitiva di n -\- 1, dovrà quel numero dividere l'altro fattore r^ -{- 1. È dunque 



n 



r 2 -|- 1 un multiplo di n -\- 1: e però ogni radice dell'equazione 



01"+' = 1 



è radice anche dell'equazione (9). Le radici dell'equazione x'"^^ = l, diverse da 1, 

 possono esprimersi, come è noto, con 



, , . ^ X , 



e sono le radici dell'equazione 



x" + a;"-' + -^a, + i=0 



che è quella della divisione del cerchio in w -j- 1 parti uguali. Tale equazione, reci- 

 proca per la sua forma, ed abeliana per la forma delle sue radici, appartiene alla 

 classe (I): giacché per ogni radice x^ di essa, o dell'equazione a;*^' = 1, risulta 



X . X 



n li 



essendo rT -|- 1 multiplo di n -\- 1: perciò si ha ii){k) = k -\- ^ (§ 1). Dunque l'e- 

 quazione della divisione del cerchio è una delle equazioni abeliane della classe (I) che 

 si possono ottenere dall'equazione (9) quando r esprime una radice primitiva del numero 

 primo n -[- 1. 



Le ulteriori considerazioni che seguono in questo § servono a semplificare in 

 parte il processo di composizione delle equazioni alle quali si riferisce il teorema L 



Sia X una radice dell'equazione (9): le quantità 



sono anche radici di quella equazione e deduconsi l'una dall'altra, ordinatamente, 



n 



mediante l'operazione espressa da [G(£c) =]a;''. Se r è pari, e quindi r^ -f- 1 è di- 

 spari, le radici dell'equazione (10) sono uguali ed opposte a quelle dell'equazione (9): 

 perciò, posto — x ^ x^, ne segue che come le quantità (11) sono radici della (9), 

 così le altre quantità 



^i t -^i ì ^1 I > 



Serie II. Tom. XLIV. o' 



