314 V. MOLLAME 



§5. 

 che sono eguali ed opposte alle quantità (11), e deduconsi l'una dall'altra mediante 



h 



l'operazione [Q{xi) =] — x^', sono radici dell'equazione (10): e se avviene che x'' = x, 



per k = n e non per k < n, e che x^. x ^ = 1, avverrà pure che — x^ = x^ per 



h-= n % non per A; < «, e che Xi . x^ ^ = 1. Si conchiude perciò che se r è pari 

 e mediante la funzione generatrice [6(a;) =] x', applicata ad una radice x dell'equa- 

 zione (9), SI è potuto comporre l'equazione abeliana f(x) = di grado n e della 

 classe (I), l'altra equazione che si può formare con la radice — x{=^x^ della (10) 

 e con la funzione generatrice \^(x^ =\ — x{ è pure abeliana, della classe (I) e di 

 grado w ed e data da /"( — x) = 0. Questa equazione è sempre diversa dall'altra 

 /■(a!) = 0; altrimenti f (a;) = dovrebbe avere radici uguali ed opposte, ciò che è 

 impossibile, giacché le radici di f{x) = appartengono alla (9), e questa, essendo di 

 grado dispari, non può avere radici uguali ed opposte. Si ha quindi il seguente 



Teorema II. — Se t è pari e con una radice x dell'equazione (9) si è potuto 

 comporre l'equazione f(x) = abeliana^ della classe (I) e di grado n, avente [9(x)=]x'' 

 per funzione generatrice delle sue radici; con la radice — x (= xj della (10) si potrà 

 comporre un'altra equazione abeliana della classe (I) e di grado n, nella quale è 

 [S(xi)^=] — x/ la funzione generatrice delle radici. Questa equazione è espressa da 

 f ( — x) ==0 ed è sempre diversa da f (x) = 0. 



Nel caso di r pari è quindi inutile il prendere in considerazione l'equazione (10), 

 basta solo associare ad ognuna delle equazioni f{x) = dedotte dalla (9) l'altra 

 equazione f{ — x) = 0. 



Sia ora r impari, e quindi r^ -\- l pari; l'equazione (9) ha le sue radici a due 

 a due uguali ed opposte. Mediante la radice x della (9) e con la funzione genera- 

 trice [Q{x) =] x'' si supponga formata l'equazione abeliana ^ (a;) = della classe (I) 

 e di grado n, le cui radici sono perciò i termini della serie seguente 



11— i 



Xj X j X , 1 X . (-L^J 



Con l'altra radice — x{=Xi) dell'equazione (9) e con la funzione generatrice 

 [e(a;i) =] Xi' si ottengono i termini dell'altra serie 



x„x{,xr, ,a;i'-"~'; (13) 



J+-. 



e come avviene che x'' = x per k^n ma non per k< n, e che x^ . x =1, così 



ji ^ *+— 



avverrà pure che Xi' = Xi per k ^^ n ma non per k < n, e che x^^ . x^ =1. 



I termini della serie (13) i quali sono uguali ed opposti ai loro corrispondenti nella 

 serie (12) sono dunque radici di un'equazione ^( — a;) = che si trova nelle stesse 

 condizioni di ^(a;) = 0. 



Le due equazioni ^(a;) = 0, g{ — a;) =^ sono sempre fra loro diverse: altri- 

 menti l'equazione ^(a;) = dovrebbe avere radici uguali ed opposte : dovrebbero cioè 



