SULLE EQUAZIONI ABELTANE EECIPROCHE 315 



§ 5. 



i termini della serie (12) essere a due a due uguali ed opposti: ora ciò non può 

 avvenire. In effetto se fosse 



x" = — X (14) 



ne seguirebbe che 



/y*' rf' ty* '7*' 



giacché essendo x radice della (9), sarà pure radice dell' equazione a;' ' = 1, cioè 



sarà x^=x' . Per la qual cosa dovrebbe essere 2fc multiplo di « ; e siccome è k<n, 

 così potrà essere solo 2k = n. In tal caso, insieme all'equazione (14) che diviene 



r S 

 X 



dovendosi avere anche l'equazione (9) che può scriversi 



X 



si dedurrebbe che — x ^ — , e che x ^ ±i, ( t = ( — 1) a 1 . Da x ;= ± * segui- 

 rebbe poi che xf = X, se /■ è della forma r = 4|? 4" 3, oppure a;' = x, se r è 



della forma r = 4^ -|- 1 : in conseguenza essendo anche x" =r a; ed x' il primo 

 dei termini della serie (12) che riproducono x si dovrebbe avere o w = 2, od w = 1, 

 in conformità di x"'^ ^=- x o di x^ ^^ x. L'ipotesi di ?2 = 1 non è ammissibile : quella 

 di w = 2 fu già precedentemente esclusa, perchè non offre nulla degno di nota, quindi 

 la supposta relazione (14) non può sussistere. Né parimente può sussistere 1' altra 

 relazione piti generale 



a;'' = — x^ 



giacché da essa si dedurrebbe che 



x^ = — x; 



e si ricadrebbe in una relazione della forma (14). Le equazioni ^'(a;) = 0, g{ — a;)=0 

 sono dunque sempre fra loro diverse. 



Tenendo ferma l'ipotesi di r impari, si supponga che n sia multiplo di 4. Se 

 i termini della serie (12) si prendono con segni alternati, si otterrà l'altra serie 



,n-l 



i cui termini sono tutti radici dell'equazione (9) e si ottengono l'uno dall'altro me- 

 diante l'operazione \^{x) =] — x\ Essi, inoltre, sono radici di un'equazione h{x) = 

 che è abeliana, della classe (I) e di grado n. Per dimostrare ciò basterà far vedere che 



(— l)'a;'-'' = x ■ (16) 



