316 V. MOLLAME 



§5. 

 per k = n ma non per k < n, e che 



ft-f— \ 27(4- — Te Ti -r_ 



e'ic.e *x=j (-1) '/.x'' '=1. (I7j 



Ora, per k ^^ n la (16) diviene «*■" = aj, ed è verificata giacche a; è il primo 

 termine della serie (12): per A; < w la (16) si riduce all'una od all'altra delle se- 

 guenti relazioni, secondo che k è pari o dispari 



X^ = X, 



(k < n) 



OC ■ iJUj 



delle quali la prima non può verificarsi, altrimenti i termini della serie (12) non sareb- 

 bero tutti fra loro disuguali come si è supposto, e la seconda non può neppure 

 verificarsi altrimenti fra i termini della serie (12) dovrebbe sussistere la relazione (14) 

 ciò che si è dimostrato impossibile. 



La relazione (17) poi, essendo per ipotesi — pari, si riduce alla seguente 



II 



U^^'Y = 1 



che è un'identità, giacche x è radice dell'equazione (9). L'equazione h{x) = tro- 

 vasi dunque realmente nelle predette condizioni e quindi, nell'ipotesi di r impari, si 

 ha il seguente 



Teorema III. — Se r è impari e con una radice x dell'equazione (9), mediante 

 la funzione generatrice [6(s) =] x' si è potuto comporre l'equazione abeliana g(x)=0, 

 della classe (I) e di grado n , l'altra equazione g ( — x) = formata con la radice 

 — x(=Xi) della (9) e con la medesima funzione generatrice [9 (xj =;] Xi', sarà pure 



abeliana della classe (I) e di grado n. E se, oltre ad essere r impari, è -^ pari, 



l'equazione h (x) = formata con la stessa radice x ma con la funzione generatrice 

 [e (x) = ] — x' sarà anch'essa abeliana della classe (I) e di grado n. 



Nell'ipotesi di r dispari devesi però prendere in considerazione anche l'equa- 

 zione (10), se -^ è pure dispari (Teorema I). 



