SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 'dV7 



§ 6. 

 Teorema I. — Se x è una radice 'primitiva delV equazione 



n 



rr'-'^+i = 1, (1) 



si avranno le seguenti proprietà: 



a) Le n quantità 



X, x% x'\ , a;'-""' (2) 



sono radici di un'equazione abeliana della classe (I) e di grado n; 



b) Le stesse quantità sono tutte radici primitive dell'equazione (1); 

 e) Le altre n quantità 



Xi, Xi , Xi , , Xi , (^ ) 



formate con una radice primitiva dell'equazione (1), non compresa fra le (2), sono tutte 

 disuguali alle quantità (2) e fra loro. 



a) Ogni radice x dell'equazione (1) è pure radice dell'altra equazione 



a;'-"- 1 = 1, (3) 



giacche r" — le multiplo di r* +1. Or l'equazione (3), messa sotto la forma se- 

 guente, 



X^ ^= X 



mostra che per ogni radice x dell'equazione (1) v'è sempre un qualche esponente v 

 per il quale risulta 



x^' = X, (4) 



cioè 



cc'-'-i= 1. (5) 



Intanto se la detta radice x è radice primitiva dell'equazione (1), dal confronto 



n 



di tale equazione con la (5) risulta che r" — 1 deve esser multiplo di r^ -\- 1, cioè 

 deve essere 



r" = 1 mod. 



(r" + l). (6) 



