318 V. MOLLAME 



§ 6. 

 Or affinchè il quoziente „ ~ — sia un numero intero, è necessario e sufficiente 



rT -\- 1 



che V sia multiplo pari di -^, cioè un multiplo di n, per es. v = pn: ed allora si 



conchiude che il più piccolo valore di v nella (4) e nella (6) è n. Di qui segue im- 

 mediatamente che le quantità (2) sono tutte fra loro disuguali; altrimenti da 



x^" = a;'-"' (k, k' < n) 



seguirebbe che (se k > k') 



x" = ìk 



e non sarebbe n il piìi piccolo valore di v nella (4), essendo k — k! < n. 



.s , .^+T 



Si ha inoltre che x"" ed x^ ^ sono quantità reciproche, come si è già visto 

 altrove; e però, ponendo 9(x) = aj', si ha 



6' a: .e 'x =: 1; 



perciò le quantità (2) hanno tutte le idoneità delle radici di un'equazione abeliana 

 della classe (I) e di grado n. Rimane quindi provata la prima parte del teorema 

 precedente. 



è) Le quantità (2) sono tutte radici primitive dell'equazione (1). In fatto si 



n 



ha in primo luogo che i numeri r^ -f- 1 ed r sono primi fra loro ; altrimenti ogni 

 loro comun divisore d diverso da 1 dovendo dividere il primo di essi ed ogni po- 

 tenza, per es. r% del secondo, dovrebbe dividere anche la differenza 1 fra r^ -|- 1 

 ed r*. 



I numeri r, r^ r^, ecc. sono dunque primi col grado r'^'-j-l, dell'equazione (1): 

 or le potenze delle radici primitive di un'equazione binomia della forma a;" =^ 1, 

 cioè della forma (1), i cui esponenti sono numeri primi col grado dell'equazione sono 

 pur esse radici primitive, come è noto, quindi la proprietà (è) rimane dimostrata. 

 e) non può essere infine un termine x{'''' della serie (2') eguale ad uno a;''' 

 della serie (2). Imperocché in tal caso da 



si dedurrebbe, se fc > A;i , che 

 ovvero, se /fc < k-^, che 



x{^' = a;*-' 



a?! = a?*" ' 



X, ^ x^ 



