SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 319 



§ 6. 



ed allora la quantità x^ figurerebbe fra i termini della serie (2), ciò che è contro 

 l'ipotesi. Inoltre essendo Xj radice primitiva dell'equazione (1), le quantità (2') tro- 

 vansi nelle identiche condizioni delle quantità (2) e sono perciò tutte fra loro 

 disuguali. Il teorema precedente rimane quindi dimostrato. 



Il più piccolo valore di v nella congruenza (6) è, come fu visto n; e però il 



n 



numero r appartiene all'esponente n, rispetto al modulo r^ -]- 1. 



Dal teorema precedente si deduce che le radici primitive delle equazioni (1) 

 si possono ordinare in uno schema della forma seguente 



iCi, x{, x{ , . . . x{ 



'X2 j X^ j X2 ì . * . X2 { \i ) 



nel quale le n quantità disposte sopra ogni orizzontale sono radici di un'equazione 

 abeliana, di grado n e della classe (I). 



n 



Il numero delle quantità (7) è dato, come si sa, da qp (r^ -)- 1), se cp (m) ha il 



n 



significato noto nella teoria dei numeri: perciò deve essere cp(r^ -|- 1) un multiplo 

 di n, e quindi si ha che 



cp (r" -f- 1) = multiplo 2n, (r > 1). 



Sia r dispari, ed il numero pari r ^ -j- 1 sia multiplo di 4 ; allora le radici pri- 

 mitive dell'equazione (1) sono a due a due ed uguali opposte (*), e però se Xi è radice 

 primitiva dell'equazione (1), tale sarà pure — Xi. La radice — Xi non può trovarsi 

 fra i termini della prima orizzontale dello schema (7), come è stato dimostrato nel 

 § precedente: e però, se come radice iniziale Xi della seconda orizzontale dello 

 schema (7) si prende — Xi, i termini della seconda orizzontale di quello schema 

 diventano uguali opposti ai loro corrispondenti nella prima orizzontale. Similmente, 

 se si pone X4 ^^ — X3, i termini della quarta orizzontale dello schema (7) diventano 

 uguali opposti ai loro corrispondenti nella terza orizzontale, e così via. Quindi le 

 radici primitive dell' equazione (1) si possono ordinare anche secondo lo schema 

 seguente 



(*) Se w. è multiplo di 2, e solo allora, in ciascuna delle equazioni 



X'» = — 1, x^'" = 1 

 le radici primitive sono, a due, a due, uguali ed opposte. " Nota „ A, teor. IV. 



