SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 321 



§ 6. 



dello schema (9), a simiglianza di quelle della serie (15) del § precedente, sono radici 

 di un'equazione h„,{x) = 0, od h„{ — x) = 0, abeliana, della classe (I) e di grado n, 

 nella quale è [9 (x) :=] — x'' la funzione generatrice delle radici. 



L'equazione F (x) = si potrà quindi scrivere anche nel seguente modo 



hi{x) /ii( — x) hi{x) hi{ — x) . . . h^x{x) hy,{ — x) ;= 0. 



Con i risultati fin qui ottenuti in questo § si possono enunciare i teoremi 

 seguenti : 



Teorema II. — Il numero cp (r" -|- 1), [r > 1), è divisibile per 2n (*). 



Teorema III. — L'equazione F (x) = che ha per radici le radici primitive del- 



l'equazione binomia x*" + ^ = 1 è decotnponibile in — — ^^^^-^ equazioni àbeliane di grado n 

 e della classe (I); in ciascuna delle quali è [9 (x) =] x'' la funzione generatrice delle radici. 



n 



S'è r ^ -|- 1 è multiplo di 4, la detta decomposizione può farsi in due modi. Dei 

 quali uno fornisce coppie di equazioni della forma f (x) = 0, f ( — x) ^= che hanno 

 tutte per funzione generatrice delle loro radici [9 (x) =] x'; e l'altro dà coppie di equa- 

 zioni h (x) = 0, h ( — x) = che hanno [9 (x) =] — x'' per funzione generatrice delle 

 loro radici. 



Se r"-]- 1 è numero primo, il teorema II diviene il seguente: 



Teorema IV. — S'è r" -|- 1 è un numero primo, sarà r" divisibile per 2n, (r > 1). 

 I teoremi I e III hanno i loro corrispondenti rispetto all'equazione 



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x'^+' = — 1, (10) 



nell'ipotesi che r ed ^ siano due numeri dispari, nel qual caso soltanto la prece- 

 dente equazione è da prendersi in esame, come fu provato nel § 5. 



Sia X una radice qualunque dell'equazione (10). I termini della serie 



sono pur tutti radici di quella equazione, come è facile verificare, e si deducono l'uno 

 dall'altro, ordinatamente, mediante l'operazione espressa da [9 [x] =] — x^. Quei ter- 

 mini inoltre sono a due a due reciproci; e precisamente sono reciproci i termini 



(*) Questa proprietà del numero cp(»'" -\- 1) risulta anche dal fatto che il numero n al quale, come 



n n 



fu innanzi dimostrato, appartiene r rispetto al modulo r ^ -(- 1, è un divisore di <p (»• ^ -f- 1). Cfr. 

 DisicHLET, Teoria dei numeri § 28, parte I. 



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