SDLLE EQUAZIONI ABELUNE RECIPROCHE 323 



§ 6. 



n 



fa conchiudere che n — 1 deve essere divisibile per 2{r^ -{- 1). Sia q il quoziente 

 di tale divisione: si avrà così 



r" — 1 



Il più piccolo valore di v per il quale risulta numero intero il quoziente - 



è n come fu visto precedentemente ; e per v = w il detto quoziente risulta anche 

 pari, giacche 



— =^ r — 1 = numero pan. 



r"— 1 



r' + l 



Adunque per ogni radice primitiva dell'equazione (10) è w il più piccolo valore che 

 può avere v nella (14); e siccome n è pari, così sarà a;'" un termine della serie (11) 

 e precisamente il primo di quelli che riproducono x. Associando a questa proprietà 

 di ogni radice primitiva dell'equazione (10) l'altra espressa dalla relazione (12) si può 

 conchiudere che se x è una radice primitiva della (10) i primi n termini della 

 serie (11) sono radici di un' equazione abeliana della classe (I) e di grado n, e che 

 [e (a;) =] — a;'' ne è la funzione generatrice delle radici. 



Quegli n termini, inoltre, sono tutti, come il primo, radici primitive dell'equa- 

 zione (10). In effetti, in virtù del teorema (C), poc'anzi citato, si ha che la radice 

 primitiva x dell'equazione (10) è pure radice primitiva dell'altra equazione 



X^ir'+l) ^ l (15) 



n 



Or il grado 2{r^-{- 1) della precedente equazione ed il numero r non possono avere 

 alcun divisore comune; altrimenti dovendo questo esser dispari, come r, e dovendo 



TI V 



esso dividere anche i numeri 2r^ e 2(r^-t-l)i dividerebbe la loro differenza 2: ciò 

 che è assurdo. 



Essendo r, e quindi le potenze di r numeri primi col grado dell'equazione (15), 

 le potenze x^ della radice primitiva x di quella equazione, sono pur esse radici pri- 

 mitive di tale equazione. Siccome poi il grado dell'equazione (15) è multiplo di 4 



perchè r'^-\-l è numero pari, così sarà radice primitiva di detta equazione sia «'■ 

 che — x^ , come fu già notato innanzi. E però si conchiude che i termini della 

 serie (11) sono tutti radici primitive dell'equazione (15) e quindi anche dell'equa- 

 zione (10) [teorema (C)]. 



Sia Xi un'altra radice primitiva dell'equazione (10) non compresa nella serie (11); 

 le quantità 



