326 V. MOLLAME 



§ 7. 



I teoremi I e V del precedente paragrafo stabiliscono che con qualunque radice 

 primitiva di ciascuna delle equazioni 



x''+^= 1, (1) 



rVl 



= - 1, (2) 



nella seconda delle quali r ed -|- sono due numeri dispari, si può comporre un'e- 

 quazione abeliana della classe (I) e di grado n. Ma fra le radici delle dette equazioni 

 ve n'ha di quelle che, pur non essendo primitive, hanno però di queste la stessa 

 attitudine nella presente quistione. Così se w -|- 1 è un numero primo ed r ne è una 

 radice primitiva, le n quantità 



/VI /yiT^ /y>' /y>' 



formate mediante una radice x dell'equazione a;"+' = 1 sono radici dell'equazione 



che è abeliana e della classe (I). Intanto fu dimostrato nel § 5 che la radice x, 

 come ogni altra dell'equazione a;"+'^l, è pure radice dell'equazione (1), ma non ne 

 è una radice primitiva. Sicché esistono nell'equazione (1) radici le quali quantunque 

 non primitive danno luogo però ad equazioni abeliane di grado n e della classe (I). 

 Il teorema generale del § 3 provvede ad escludere dalle radici dell'equazione (1) 

 o dell'equazione (2) quelle con le quali non è possibile comporre equazioni abeliane 

 di grado n. L'equazione (12) considerata in quel teorema diviene nel caso presente, 

 in cui è e (a;) = ± r' , 



a 



a;'-'+i= 1 , (3) 



se si pone Q[x) = x*; e se invece si pone 9(a;) =: — x% quell'equazione diviene 



a 



a;'-'+i = {—ly, (4) 



dove è 



£' = 1 -f r + r' + . . . + r'^~\ 



t: 



