SULLE EQUAZIONI ABELIANK RECIPROCHE 327 



§ 7. 



Or l'equazione generale (3) del § 3 si ridusse all' attuale equazione (1) in seguito 

 all'ipotesi di 9 (x) = x'', per ogni valore di r e di -^ , ovvero di (a;) = — x', se r 



Ci 



è dispari ed -|- è pari. Ma se -g- è pari, tale è pure -^, che è un divisore di -^ 



al quale deve corrispondere un quoziente dispari, e però in tal caso, risultando pari 

 il numero e', ne segue che l'equazione (4) si riduce all'equazione (3) e si conchiude 

 che dalle radici dell'equazione (1) son da escludersi solo tutte quelle che tale equa- 

 zione ha comuni con le equazioni della forma (3). 



Analogamente si conchiuderebbe che dalle radici dell'equazióne (2) vanno escluse 

 solo quelle che tale equazione ha comuni con equazioni della forma 



a;'-'+i = — 1. (5) 



Per quel che riguarda poi le radici + 1 o — 1 che, secondo il teorema del § 3 

 devonsi sopprimere dall'equazione (1) o dalla (2), si ha che 1 è radice comune alla (1) 

 ed a ciascuna delle equazioni (3), ed altrettanto, se r è impari; avviene della radice 

 — 1 dell'equazione (1). Di guisa che le radici + 1 o — 1 di questa equazione ver- 

 ranno da essa soppresse come radici che tale equazione ha comuni con una qua- 

 lunque delle (3). Fa solo eccezione il caso nel quale delle equazioni (3) non ne esista 



TI 



alcuna ; ciò che può avvenire solo allorquando n è una potenza di 2, oppure r ^ -j- 1 

 è un numero primo. Giacché se w è una potenza di 2 non esistono i numeri a e se 



n a 



r^ -\- \ è un numero primo, allora non esistendo i numeri r^ -|" 1> che altrimenti 

 sarebbero divisori di r '^ -(- 1 , non esisteranno neppure i numeri a. Il secondo di 



n 



questi due casi include il primo : imperocché se r ^ -|~ 1 ^ numero primo , non esi- 

 stendo pili i divisori j-^-j- 1, non esisteranno neppure i divisori a di w e quindi n 

 dovrà essere una potenza di 2. 



Ora, se delle equazioni (3) non ne esista alcuna, è d'uopo sopprimere dall'equa- 

 zione (1) solo la radice 1, se r è pari, o solo le radici le — 1 se r è dispari. 



L'equazione (2) poi non può avere né la radice -j- 1 né la radice — 1 essendo 



in essa r' -\-\ un numero pari. Oltre a ciò, siccome -^ è dispari, esisterà sempre 



qualche equazione della forma (5), per es. l' equazione x^^^ = — 1, per la quale 

 è a = 2. 



Si possono ora enunciare i teoremi seguenti. 



Teorema I. — Siano r ed -5- due numeri interi e positivi, il secondo dei quali 



Ci 



non sia una potenza di 2: siano inoltre a, a,', a", ecc. tutti quei divisori positivi di n, 

 minori di n, che danno quozienti dispari. Se dall'equazione 



n 

 X'-'+^^z 1 (1') 



