328 • V. MOLLAME 



§ 7. 

 si sopprimono tutte quelle radici che essa ha comuni con le equazioni seguenti 



a a' a" 



ic'-'+i = 1 , re'' ' +1 = 1 , a;'' ^ +1= 1, ecc.; (a) 



ovvero se dall'equazione 



n 



x''+'' = — l, (2') 



nella quale r ed ~ si suppongono dispari, si sopprimono f,uUe quelle radici che essa 

 ha comuni con le altre equazioni seguenti 



x'-'-^-l^ — l, a;*- ' +1 = — 1 , X'' +1 = — 1 , ecc., (a') 



le equazioni razionali <t> (x) = 0, V (x) = che, nel primo caso, o nel secondo, risul- 

 tano formate con le rimanenti radici dell' equazione {!') o dell' equazione (2'), sono 

 decomponibili in equazioni abeliane di grado n della classe (I). 



Le equazioni provenienti dalla scomposizione di ^1^ (x) = hanno per funzione ge- 

 neratrice delle loro radici [O (x) ^] x'; le altre, relative all'equazione V (x) = 0^ hanno 

 per funzione generatrice delle loro radici [6 (x) =] — x''. 



Se nell'equazione (1') r è impari ed -^ è pari, la decomposizione di <ì>{x) = può 



farsi in due modi: potendosi assumere come funzione generatrice sia [0(x) =) x*^ che 

 [e (x) =] — X'. (Teorema lE, § 5) {*). 



Teorema IL — Le equazioni 



„m 

 x'- +' - 1 



x—\ 



y +1 



(6) 



" ~'=0, (7) 



nella prima delle quali r è pari e nella seconda r è dispari, sono decomponibili in 

 equazioni tutte abeliane di grado 2"*+' e della classe (I). Di tali equazioni, quelle che 

 provengono dalla decomposizione dell' equazione (6) hanno per funzione generatrice delle 

 loro radici [6 (x) ;=] x', e quelle provenienti dalla, decomposizione dell'equazione (7) pos- 

 sono avere per funzione generatrice o [0 (x) =] x"" omero [9 (x) =] — x'' (**). 



(*) Le radici delle equazioni (a;) = e M* (x) == sono radici abeliane d'ordine n delle equazioni 



n 



(1') e (2'). Esse potrebbero anche denominarsi radici abeliane di indice »• ° -(- 1 dell'unità positiva o del- 

 l'unità negativa. Nel campo di tali radici trovansi le radici primitive delle equazioni (1') e (2'). Cfr. la 

 nota al § 4. 



(**) Le radici dell'equazione binomia a;'" — 1=0, salvo ±1, sono tutte abeliane di ordine 2"'+i 

 Cfr. la nota al § 4. 



