SULLE EQUAZIONI ABELTANE RECIPROCHE 329 



§ 7. 



m 



Il grado r^ — 1 dell'equazione (7) dovendo esser multiplo del grado 2""+^ delle 

 equazioni abeliane nelle quali essa si decompone, ne segue che, ponendo r = 2p -[~ 1 

 deve essere 



(2iJ + if — 1 . , 



^^ — '- — — = numero intero , 



per ogni valore del numero intero e positivo p. 



n 



Essendo -^ un divisore di -^ che dà un quoziente dispari, si deduce che r " -j- 1 

 è divisibile per r^-|- 1: e però il quoziente — ^ è una funzione intera di x. 



X — 1 



Inoltre il quoziente di r -)- 1 diviso per r^ -\- 1 è dispari: imperocché se g' è il quo- 

 ziente dispari — si ha 



/-hi _ 







(/- 



a 



r 



/-fi 









-(-...-j-W — r /+! 



or la funzione di r, f{r), che è nel secondo membro della precedente uguaglianza ha, 



oltre al termine 1, altri — — 



Ci U 



l (? - 1) 



termini, i quali formano -|- . -^^ — 



2 



differenze che son tutte pari; e però f{r) -j- 1 è un numero dispari. 



« 



Essendo dispari il quoziente di r^-j-l diviso per r^-|- 1 ne segue che — - — '^^— 



x^'+'+ 1 



è una funzione intera di x. 



n 



~9 a' 



*" — 1 



Ciò premesso, siano |Ui(ie) il massimo comun divisore fra — ed a;''* +1 



r"2"- 1 

 X H- 1 



(dove devonsi prendere contemporaneamente o i segni superiori o quelli inferiori), 



n 



Hs [x) il massimo comun divisore fra -, — i —. ed iC ^ +' + 1 e così via ; si 



avrà allora che l'equazione 



r 2 +1 — 1 



X +1 



(8) 



x" """'-(-1 /MiW \iì{x) 



esprimerà l'equazione <t>ix)^Qi o l'equazione ^(a;) = 0, secondo che si prendano 

 i segni superiori o quelli inferiori. 



Serie H. Tom. XLIV. q' 



