SULLE EQUAZIONI ABELIA.NE RECIPROCHE 331 



§ 8. 



Sia X una qualunque delle radici dell'equazione (l)(a;) = o dell'equazione 

 Y (a;) = considerate nel § precedente e per le quali è (6 (a;) =) ± x' la funzione 

 generatrice delle radici. 



La funzione seguente 



«/ = a; -f e« + e'a; + . . . + G'-'a; 



di n radici di <ì>{x) = 0, o di ^(x) = 0, rimane invariata se in essa in luogo della 

 radice x si pone una qualunque delle altre radici Qx, Q^x, . . . , 6"~'aj : e perciò «/ può 

 avere solo v valori, se v è il quoziente del grado di (i>(x) = 0, o di W(x) = 0, diviso 

 per n. Per la qual cosa y è radice di un'equazione razionale 



Y = (1) 



di grado v, la quale si ottiene con processi noti. 



Se questa equazione non ha radici uguali, con la sua risoluzione si conoscerà 

 la funzione simmetrica y dì n radici dell'equazione <t){x)==^0 o dell'equazione V{x)=0, 

 0; mediante la conoscenza di y, resteranno determinati, come è noto, i fattori di 

 grado n di <i>{x) o di Y(a;) : questi uguagliati a zero forniscono le equazioni abeliane 

 di grado n e della classe (I) nelle quali è decomponibile l'equazione <t>{x) = 0, o 

 l'altra V(a;) = 0. 



Questo processo generale può però nei casi particolari essere semplificato. 



Vogliansi, per es., determinare le equazioni abeliane di quarto grado e della 

 classe (I) per le quali è r =^ S ovvero r = 2. 



L'equazione 



n 



a;'^+i = 1 

 per r = 3 diviene 



x'' = 1. (2) 



L'equazione (7) considerata nel teorema II del § 7 è data attualmente da 



a;»" — 1 



cioè da 



a;* + a;' + 1 = 0. (3') 



