SULLE EQUAZIONI ABELIAKE HECIPROCHE 333. 



§ 8. 



le cui radici hanno [6 {x) =] x" per funzione generatrice. L'equazione (8) si ottiene 

 dalla (7) mutando x in x, come prescrive il teorema III del § 5. 

 L'altra equazione 



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aj'-'^+i = — 1 

 nella quale ^ deve esser dispari, non è da prendersi attualmente in considerazione, 



giacche ~ {= 2) è pari. 



Le equazioni (7) ed (8) si potevano anche ottenere immediatamente considerando 

 che 



x^ — 1 X — l'aj + l 



= {x' -^ X? -ir x' -^ x + l) {X* — x' ^ x^ — X -Ir 1); 



e che se a; è radice di una delle due equazioni (7) ed (8) che si hanno uguagliando 

 a zero i due precedenti fattori in parentesi, anche [©(a?) =] a;' è radice di quella 

 equazione; giacche si ha 



x'" ^ x' -{- x' -\- x^ -ir 1 = x'". x' -I- x\ a;^ + a;^ a; 4- «= -f 1 = 



= a;' + a;* + a; + a;' + 1 = 0, 

 ed 



a;'° — a;' -)- *" — x^ -\- l ^= x^". x^ — a?, a;' -f- ^^ ^ — a;' -)- 1 = 

 = a;- -j- a;* — a; — a;' -f- 1 = 0. 



Oltre a ciò è pure, per w = 4, 



x^^ a;3*"^'^= a;»V+3') = [x^^f = 1. 



Se r = 2 si rinvengono immediatamente di nuovo le equazioni (7) ed (8). 



Per avere l'altra equazione (1) risultante dall'eliminazione di x fra le equa- 

 zioni (3') e (5), si moltiplichino ambo i membri della (5) per a; e se ne sottraggano 

 poi quelli della (3'); risulta così 



xy = — 2a;' — x^ — 2a;*, 

 cioè 



xy = — 2(a? -|- ^"^ + ^*) 4- ^^ 



od anche, tenendo presente l'equazione (3') 



xy = - ■ 2(a:' + 1) + oo\ 



