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in superficie (razionali) molto semplici e di proprietà ben note, sulle quali sarà sempre 

 facile costruù'le. La questione che si presenta ora invece come — dirò così — 

 successiva, e che sembra anche meritevole di essere studiata, è quella di fare una 



ricerca analoga anche per le curve di genere tt — 1, n — 2, determinando se e 



quando anche queste possano stare sulla rigata R'"' (o, per r = 5, sulla Fj di Vero- 

 nese) ; ovvero, quando non vi stiano, in quali altre superficie (possibilmente semplici) 

 esse siano contenute. E tale ricerca costituisce appunto l'oggetto principale di questo 

 lavoro. Già prima ch'io cominciassi ad occuparmene lo stesso sig. Castelnuovo mi 

 aveva detto di ritenere che le curve di genere tt — 1 dovessero stare necessariamente 

 — almeno da un certo ordine in poi — su di una superficie a sezioni ellittiche o 

 razionali. La proposizione sussiste effettivamente, e si vedranno anzi in seguito enu- 

 merati i vari casi che queste curve possono presentare. Uno studio analogo sarà 

 fatto anche per le curve di genere tt — 2 ; piti in succinto però, perchè molte loro 

 proprietà si potranno poi stabilire facilmente e con ragionamenti affatto identici a 

 quelli già usati per le curve di genere tt — LE sarebbe forse interessante il cercar 



di estendere questi stessi risultati anche alle curve di genere tt — 3, tt — 4, e, 



in generale, tt — k; ma di questo (come dico pure alla fine del § 8) non intendo per 

 ora occuparmi. 



A questa ricerca fa seguito, come appendice, una breve Nota, nella quale, ap- 

 plicando quel concetto, ormai notissimo, ma sempre fecondo (1) a cui è informata 

 la Neue Geometrie des Raumes di Giulio Pluecker e a cui pure si informarono in se- 

 guito parecchi lavori di altri scienziati — e primi fra tutti quelli del sig. Klein — , 

 si deducono dai risultati ricordati e ottenuti in questo lavoro alcune proprietà di 

 certe rigate e congruenze di rette appartenenti al nostro spazio (2). 



§ 1. 



Genere massimo di una curva 

 che sta sopra un dato numero di quadriche. 



1. Il signor Castelnuovo dopo aver determinato nelle sue Ricerche di geometria 

 sulle curve algebriche (Atti della R. Acc. di Torino, XXIV) il genere massimo di una 

 curva di ordine n (C") appartenente allo spazio S^ (3), dimostra che : 



(1) ' Die Liniengeometrie ist ivle die Geometrie auf einer M^'^' des R5 „ (Gfr. F. Klein: TJeì). Linien- 

 geometrie und metrische Geometrie; " Math. Ann. „, V. p. 261). 



(2) Mi è caro rinnovare qui i più vivi ringraziamenti al prof. C. Segke, che mi iniziò allo studio 

 delle curve algebriche e della Geometria sopra queste (nelle sue lezioni di Geometria sopra un ente 

 algebrico, dettate nell'Università di Torino l'anno acc. 1890-91), e al prof. G. Castelnuovo dell'Uni- 

 versità di Roma, che volle anche gentilmente dirigermi in queste ricerche. 



(3) Questo genere massimo (ohe noi in seguito indicheremo sempre colla lettera tt) egli lo trova 

 espresso da 



1 r + 1 r — 



X » 5 X -^ 



dove X è il minimo intero non inferiore a ^_ j (cfr. loc. cit., 27). Questo stesso risultato fu poi 



ridimostrato, circa un anno più tardi, dal prof. E. Bebtini nella sua Nota : Intorno ad alcuni teoremi 

 della Geometria sopra una curva algebrica (" Atti dell'Accad. di Torino ,, XXVI). In questo lavoro si 



