SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 337 



Per una curva di S, d'ordine n > 2r e del massimo genere passano ('i') quadriche 

 linearmente indipendenti; e ogni altra quadrica passante per una tal curva appartiene 

 al sistema lineare di quelle. — La prima parte dell'enunciato è vera anche se l'or- 

 dine della curva è inferiore a 2r; ma per questa curva potranno passare allora 

 anche più di ('i') quadriche indipendenti (1). 



Da questo risultato egli deduce poi che: 



Se n > 2r, la curva d'ordine n e di genere massimo di S, sta in una superficie a 

 due dimensioni d'ordine r — 1 ; superficie che, come sappiamo, è sempre rigata se r 

 è diverso da 5 (2), ma può non esserlo nel caso di r = 5 (superficie di Veronese) (3). 

 Questa, superficie è comune a tutte le quadriche passanti per quella curva, e ■ costituisce 

 anzi precisamente la varietà base del loro sistema lineare (4). 



La dimostrazione che il sig. Castelnuovo dà di quest'ultima proposizione si ap- 

 plica anche a qualsiasi curva di S, di ordine n > 2r per la quale passino ('7^) quadriche 

 indipendenti (sia o non sia questa curva di genere massimo) (5) (6). 



trovano anqlie generalizzate alcune delle proprietà che condussero il Castelnuovo a quella deter- 

 minazione, e ne sono accennate alcune fra le possibili applicazioni. 



Non occorre avvertire che il genere massimo da noi indicato con n è sempre funzione dell' or- 

 dine n della curva e della dimensione r dello spazio cui essa appartiene. Per brevità ci asteniamo 

 dall'usare per questo una notazione più espressiva, scrivendo ad es. t:\ n, r ì; e ciò perchè , anche 

 in seguito, non ci sembra vi sia pericolo di confusione. 



(1) Ci sia concesso, ora ed in seguito, di parlare semplicemente di quadriche indipendenti, sot- 

 tintendendo per brevità il linearmente. 



(2) Cfr. Del Pezzo: Sulle siqierficie dell'-a" ordine immerse nello spazio S„_^i (" Rendiconti della 

 R. Accad. di Napoli „ 1885). 



(3) La superficie omaloide normale a due dimensioni del quarto ordine dello spazio a cinque dimen- 

 sioni e le sue proiezioni nel piano e nello spazio ordinario (' Mem. della R. Acc. dei Lincei „, serie 3", 

 voi. XIX, 1883-84). 



(4) Nel caso di una superficie rigata, come osserva anche il sig. Castelnuovo, il numero x aumen- 

 tato di un'unità dà il numero dei punti in cui la curva considerata incontra le varie generatrici 

 di quella stessa rigata. Però, per le curve il cui ordine è un multiplo di r — 1 aumentato di una 

 unità, questo stesso numero può anche esser dato dalla somma X "f" 2. Segando infatti la rigata R ~ 



con una varietà M,._j che non le sia tangente in alcun punto, ma passi per i 2 sue generatrici, 



otteniamo come intersezione (residua) una curva di ordine n^(k — 1) [r — 1) -|- 1 incontrata da ogni 

 generatrice in k punti; e perciò, per una nota formola, di genere ( 2^ ) (r — 1), cioè appunto di 



genere tt. E il numero x , in questo caso precisamente uguale a ^ _ ^ , vale soltanto k — 2 



(onde k = x + 2). 



La formola cit. è quella data dal sig. Segke nella Nota: Intorno alla geometria su una rigata 

 algebrica (' Rendic. R. Accad. dei Lincei ,, 1887), e da lui stesso poi generalizzata nella Nota suc- 

 cessiva (stessi Rendic): Sulle varietà algebriche composte di una serie semplicemente infinita di spiazi. 



(2 novembre) L'osservazione contenuta in questa nota è stata fatta anche recentemente dal 

 sig. Castelnuovo, in un lavoro inserto nei " Rend. di Palermo „ (t. VII, p. 97). 



(5) Questa sola proprietà (l'essere contenuta cioè in C"^ ) quadriche indipendenti) basta infatti 

 per concludere che le n intersezioni della curva C" con un S,._i (intersezioni che possiamo ritenere 

 ad r ad r indipendenti) non imporranno certo alle quadriche di quest'ultimo spazio che le conten- 

 gono pili di 2r — 1 condizioni distinte. E il sig. Castelnuovo fa vedere appunto (cfr. loc. cit.: 30) che 

 in tal caso, se « > 2r, quelle n intersezioni dovranno stare sopra una curva razionale normale di 



ordine ì 1, che sarà pur contenuta a sua volta in tutte le quadriche passanti per quegli stessi 



n punti. E dalla curva C''""'' di S^_i si risale poi subito alle superficie P""" di S^ . 



(6) Questi risultati ottenuti dal sig. Castelnuovo e qui ricordati si possono anche estendere al 

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