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2. Una curva di S^ la quale stia sopra meno di ('7') quadriche indipendenti non 

 potrà dunque essere di genere massimo (it) — e non starà sopra una rigata razionale 

 normale, né sulla superficie di Veronese (se r = 5) — . 



Si presenta dunque, di per sé, la questione: Sapendo che per una certa curva 

 Cp appartenente a S, passano solo {'7 ) — b quadriche indipendenti (0 almeno non ne 

 passano di pili), determinare per il genere p di questa stessa curva un limite superiore 

 (possibilmente diverso da n, e precisamente inferiore a questo, se b > 0). 



A questa domanda si può rispondere facilmente, con un ragionamento analogo 

 a quello con cui il Castelnuovo giunse alla determinazione del genere tt. E noi di- 

 mostreremo precisamente che : 



Il genere p di una curva normale (1) d'ordine n appartenente a, S^ per la quale 

 passino non più di ('7') — ò quadriche indipendenti non può mai superare il limite 



x^ j »» - ^ - x/^ j - j X/ - 1 j b 



dove x<f è il minimo intero non inferiore a z — . 



' r — 1 



Questo risultato comprenderà come caso particolare (b = 0) quello già ottenuto 

 dal sig. Castelnuovo. 



Infatti, per le nostre ipotesi, la serie lineare (di ordine 2w) segata sulla curva C, 

 dal sistema di tutte le quadriche di S, sarà di dimensione 



caso in cui, invece di quadriche, si vogliano considerare varietà pure di dimensione r — 1, ma di 

 un ordine qualunque A; ^ 2. E si ha precisamente: 



Per ogni curva appartenente ad Sr e del genere massimo passano almeno 



m - i't) r + Qò - 1 



varietà M,._j linearmente indipendenti. Indicando questo numero per brevità con (r, k), possiamo 



aggiungere : 



Quando l'ordine della curva di genere massimo è superiore a k (r — 1) per essa passano precisa- 

 mente (r, k) varietà M,._i indipendenti; e ogni altra M,._i che la contiene appartiene al sistema 

 lineare di queste. La dimostrazione si può fare per induzione completa da fc a fc-j-l, osservando 

 che le M^_j passanti per una curva (irriduttibile) appartenente a Sr e per un dato S,._j (di questo Sr) 

 sono tante quante le M^Zi che contengono quella stessa curva. E infine: 



Se per una curva appartenente ad Sr e di ordine u>li:(r — l) + 2 passano (r, k) varietà M,._i 

 indipendenti, questa curva starà su di una superficie razionale normale di ordine r — 1 comune a tutte 

 quelle varietà. Questa proposizione si applica in particolare alle curve di genere massimo; da essa 

 deduciamo altresì che , se una curva di S,- è contenuta in (r, h) varietà indipendenti di un certo 

 ordine ^, ed è a sua volta di ordine > A; (»• — 1) + 2 , essa dovrà anche stare sopra almeno (r, le) 

 varietà indipendenti di ogni altro ordine H^ 2. 



Anche le ricerche che andremo ora facendo per curve contenute in sistemi lineari di quadriche 

 di dimensione inferiore a C^ ) — 1 potrebbero estendersi al caso di sistemi di varietà M^_j ; ma 

 già il calcolo analogo a quello che faremo nel n° 2 riuscirebbe molto complicato ; ci basti quindi 

 di aver accennata la possibilità di questa estensione. 



(1) Si potrebbe anche omettere questa restrizione, e supporre la curva normale per un S,._^,. 

 modificando solo opportunamente il limite superiore che segue. Ho preferito tuttavia dare al teo- 

 rema questa forma (più semplice) perchè sarà solo a curve normali che dovremo applicarlo. Si può 

 anzi ritenere, come sappiamo, che una curva speciale (di quelle non speciali non avremo ad occu- 

 parci) sia anche, in generale, una curva normale. 



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