SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 339 



d > et) - Ci') + ò - 1 



ossia 



c^ > 3r + b — 1. 



Supponiamo che questa serie gl^ sia speciale. Sarà allora speciale — perchè 

 contenuta in quest'ultima — anche la gì segata su Cp dagli iperpiani (Sr-i) di S„ 

 e speciale la curva stessa. Essendo questa normale, ogni gruppo di quella gì im- 

 porrà a un gruppo della serie canonica [g^^lì^ che debba contenerlo un numero ^i di 

 condizioni precisamente uguale & n — r. D'altra parte, se indichiamo con \Xi il nu- 

 mero (minimo) delle condizioni imposte pure da un gruppo di gì a un gruppo della 

 serie residua glj-t^n^ che debba contenerlo (e di gruppi così fatti ve ne saranno 

 certo) avremo, per una delle relazioni stabilite dal Castelnuovo (1), 



(? < 2W — (H; -|- ILls) 



(e ciò risulta anzi evidente, quando si pensi al significato della somma \Xi -)- M2); e 

 quindi, a foriiori, 



3r + b - 1 < 2w - (m, +■ mO 

 ossia 



Mi -\- Ma "S 2n — 3r — b -f 1. 



E tenendo conto infine della relazione Mi = w — r ossia 



(Ti) ili, = w — (r — 1) — 1 



se ne deduce quest'altra: 



(T2) H^ < w — 2(r — 1) — b — 1. 



Osserviamo poi che sarà precisamente 2w — {\Xi -{- \x^ la dimensione della serie 

 completa di ordine 2n che contiene la g\„ — se questa già non è completa (2) — 

 e quindi le varie coppie di gruppi di gì (3). 



Se si ha poi ancora 



(«3) Hi + 2^2 — {r —l) < p 



si dimostra facilmente (cfr. Castelnuovo, 1. e, n' 25 e seg. ; Beetini, n' 5 e seg.) che 

 anche a un gruppo della serie 5'^rlflJ^*~' residua della 5^2" ''"'^'"'' ^^ P*^^ imporre di 

 contenere un gruppo arbitrario G„ di gì ; e che, indicando con Hg il numero minimo di 



(1) La relazione generale (loc. cit., 28) sarebbe 



p < A» — (H, + H2+ +Mi) 



dove p è la dimensione della serie lineare segata su C" dal sistema di tutte le My_i di Sr. Questa 

 formola si applica qui per k = 2. 



(2) E sarebbe completa appunto nel caso estremo d = 2» — (|Ui -!- ^j). 



(3) Di queste serie multiple di una data serie lineare si è occupato recentemente (e in modo 

 piti particolare) lo stesso sig. Castelnuovo, nella Nota: Sui multipli di unu serie lineare di gruppi di 

 punti appartenente ad una curva algebrica (" Rend. di Palermo „, t. VII). In questo lavoro si trova anche 

 determinato nuovamente il valore del genere massimo ir, per una via sostanzialmente non diversa, 

 ma forse piìi semplice, di quella tenuta nelle Ricerche (2 novembre). 



