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punti di un tal gruppo che devono stare nel primo, perchè questo lo contenga per 

 intiero, si dovrà avere 



1^3 ^ 1^2 — (r — 1) 

 ossia 



(Ts) Ìi3 ^ n — 3(r — 1) — b. 



Segue pure da ciò che le terne di gruppi G„ sono a lor volta gruppi speciali, 

 e appartengono precisamente a una serie speciale completa di ordine 3w e dimensione 

 3w — (Hi + M2 + lis). 



E se ora estendiamo alle n-, pj le definizioni date per Hi, Hj, m, nell'ipo- 

 tesi, s'intende, che siano soddisfatte le successive relazioni 



(«i) Hi -j- Hs + 2|J3 — (r — 1) < p 



(«k) Hi + M2 + -f ^li-2 + 2Ht_i — ()■ — 1) < ^ (1) 



troveremo facilmente che anche per queste nuove h si ha in generale 



Mi ^ Mi-i — ir — 1) 

 e quindi 



(Ti) |U4<w — 4(r— 1) — b — 1 



(Ts) H5 -s w — 5 (r — 1) — b — 1 



(Tx) Ms < m — A;(r — 1) — b — 1 



dalle quali relazioni si deduce immediatamente 



Hi + H. + + H.-1 + 2h, - {r - 1) < (fc 4- 1) w - (''^+2 j (,._!) _ ^5 _ (^^1) 



ovvero anche 



Hi+ M2 + + M..-1 + 2h, - (r - 1) < (A: + 1) j ^ - '-1^^ - (A: + l)^j - fcb. 



Il numero A; si supponga ora precisamente tale che , essendo pur verificate le 

 relazioni aj per i ^ k, non lo sia piìi la a^i); ma si abbia invece 



Hi + ^2 + + Hi-1 + 2h, - (r — l)^p (2). 



(1) Supposto cioè che si verifichi la (aj, chiameremo ^x^ il numero minimo di punti di Gn che 

 devono trovarsi in un gruppo della serie residua della ffsn ' ^'*'™ perchè questo gruppo con- 

 tenga tutto Gn medesimo, ecc. ecc. 



(2) È chiaro che un valore così fatto di k dovrà sempre esistere (cfr. anche Castelnuovo, loo. cit.). 

 Potrebbe però essere k = 2 (non essere cioè già più soddisfatta nemmeno la (03) ), — e allora do- 

 vremmo naturalmente fermarci alla relazione (Ta) — • 



