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§ 2. 



Sull'ordine di una curva per la quale deve passare 

 un dato numero di quadriche. 



3. Il risultato semplicissimo ottenuto nel § precedente ci permetterebbe di sta- 

 bilire subito un minimum per il numero delle quadriche che passano per una curva 

 di dato ordine e genere e appartenente a un dato spazio (o almeno di stabilire un 

 tal minimum in modo nuovo, se la curva è non speciale). Ma per noi ha molto 

 maggior importanza lo studio della questione seguente : Determinare possibilmente un 

 ordine dal quale in su una curva di S„ Sìipposta normale (1) e di genere tt — k {dove 

 k ha un valore assegnato ad arbitrio) (2), stia necessariamente sopra almeno (""t') — b 

 quadriche indifendenti. Di una tale ricerca ci converrà ora occuparci. 



Sarà condizione sufficiente per quanto si richiede che si abbia : 



n- le > y: \ n-'^ - y! '^\-\ X' -l\\ b + 1 



dove n è l'ordine della curva e x' indica il minimo intero non inferiore a ^~^~ ~ (3). 

 È chiaro che, quando nessuno dei numeri 



n — r — b — 1 n — r — 6 n — r — 1 



r — 1 ' »• — 1 ' r — 1 



sia intero, lo stesso x' è anche il minimo intero non inferiore a "~' , e perciò la 



relazione scritta teste — sostituendo a tt il suo valore — si riduce subito a que- 

 st'altra 



1 X' - 1 ( \h + l\>k 



ossia X > r — 7 + 1. Se dunque indichiamo con l il resto della divisione di ìc per 

 ò -|- 1 , basterà che sia x' — r — 7 -f- 2, e per questo è sufficiente (e anche necessario) 



n — r ^^ h — l I -, 



: > 7 + 1, ossia 



ì 1 + 1 ' 



(1) . '»^ii:^ + 2i^-iì + 2. 



(1) Questa condizione la troveremo però, nella maggior parte dei oasi, già di per se soddisfatta 

 (ofr. anche la nota seg.). 



(2) Il genere di questa curva sarà dato dunque dall' espressione x\n g X — g — — * 



dove X (= Xo) indica il minimo intero non inferiore a — ^TT- Avvertiamo poi clie la curva stessa 



sarebbe eerto normale quando il suo ordine superasse un certo limite (che dipenderà dal valore di k, 

 e sarebbe anche facile da determinare). 



(3) Scriviamo per brevità x' anziché Xò_|.i (ofr. § preced.). 



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