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dove h è intero (e non nullo, se vogliamo sia fc > 0). Dalla stessa relazione 

 w = x|** — 1("4"^"!"1 si ricava poi 



(3) n = l ^ l (mod. r — 1). 



Perchè possa dunque esistere sulla rigata E''"' di S, una curva, G'^_,^ {k > 0) priva 

 di punti doppi è necessario che il numero k e l'ordine n siano nello stesso tempo l'uno 

 del tipo (2) e l'altro del tipo (3) (1). Questo stesso risultato può ritenersi valido anche 

 nel caso di fc = 0, perchè allora la relazione (2) è sempre soddisfatta per h = 0, 

 e lascia anzi del tutto indeterminato il numero l, sicché la (3) non impone più al- 

 l'ordine n alcuna restrizione. 



6. Ma se la relazione (2), per un dato valore k, è soddisfatta da una certa coppia 

 di valori particolari di h e Ai l (2), essa rimarrà del pari soddisfatta quando le 

 stesse h Q l sì mutino rispett. in /i' = — h e V = r — 1 — ^ (B) ; perciò , per un 

 dato valore 



k = ^%^ (r - 1) + AZ 



a 



non saranno possibili (4Ì soltanto gli ordini n dati dalla (3), ma anche quelli per cui 



(3') n = — l + 1 (mod. r — 1). 



Nelle relazioni (3) e (3') sono però compresi tutti i casi possibili. 



Le curve C^_j delle quali è così prevista come possibile l'esistenza esistono 

 anche effettivamente, almeno a partire da un certo ordine, da un certo multiplo 

 cioè di r — 1 aumentato di Z -j- 1 o diminuito Ai l — 1 (ordine e multiplo che di- 

 penderanno naturalmente dal numero k). Le curve il cui ordine è del tipo (3') si 

 possono tutte ottenere segando la rigata con una varietà M^_, che non la contenga 

 e non le sia tangente in alcun punto, ma passi per h {r — 1) -|- ^ — 1 sue genera- 

 trici (5). L'ordine x della varietà sarebbe il numero dei punti in cui si vuole che 

 la curva seghi ogni generatrice (6). — Invece le curve il cui ordine è del tipo (3^ 

 non si possono più segare con varietà di ordine eguale al numero dei punti in cui 

 esse tagliano ogni generatrice, ma solo con varietà di un ordine alquanto più de- 



ll) Ed è chiaro ohe, dati ad arbitrio k e n (ed r), non esisteranno in generale due numeri 

 interi h e l per cui queste condizioni siano soddisfatte. Dato n e determinato 1, e dato k è deter- 

 minato h (colla condizione <il "Slv — 1); ma nell'uno e nell' altro caso il valore di A o rispett. l 

 che ci è dato poi dalla (2) non sarà in generale intero. 



(2) Valori che, ove esistano, saranno sempre determinati e in modo unico, quando sia i > e 

 si voglia altresì /« > 0; < ^ S r — 1. 



(3) Nel caso limite l = r — 1 si potrebbe anche mutare h in — (^-|-1) e ritenere l' = r — 1; 

 allora anche per l' si avrebbero i limiti <il' '5 r — 1. 



(4) Possibili, in quanto cioè possano esistere sulla rigata R*^" curve di ordine n e genere u — k 

 prive di punti doppi. 



(5) Essendo h e l definiti dal valore dato di k (cfr. anche la nota (2) qui sopra). 



(6) Si può dimostrare anzi, più generalmente, che ogni curva priva di punti doppi e tracciata 

 su di una rigata razionale normale R*"" in modo da incontrarne ogni generatrice in x punti può otte- 

 nersi come intersezione della stessa rigata con una varietà M^_j quando il suo ordine non sia supe- 



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