SUPRA LE CUKVE DI DATO ORDINE, ECC. 347 



vato (1); e l'intersezione residua deve essere precisamente una curva di ordine 

 h {r — 1) —l— 1 incontrata da ogni generatrice in 2h — 1 punti, quando sia l<r — 2; 

 e una curva di ordine (A -\- 1) {r — 1), o rispett. {h -\- 1) {r — 1) — 1, incontrante 

 ogni generatrice in 2h -\- 1 punti quando sia invece l = r — 2 o r — 1. Curve così 

 fatte esistono sempre sulle rigate (o almeno su quelle di uno o più gruppi) (2) ; 

 potranno però essere riduttibili, e anzi nella maggior parte dei casi dovranno essere tali. 



In particolare, noi potremo segare sulla rigata R'"^ ddle curve di genere tt — k, 

 dove < k < r — 2, mediante varietà M^_j condotte per r — 2 -|- k generatrici di deità 

 rigata, o per una direttrice di questa di ordine r — 2 — k. 



Se la varietà M^_j si conduce invece per 2r — 4, 2r — 3, 2r — 2, 2r — 1, ecc. 

 generatrici, la curva d'intersezione residua sarà del genere massimo (tt) diminuito 

 rispett. di r — 2, r — 1, r -|- 1, >" + 3, ecc. unità. 



Si vede facilmente che le due serie di ordini n date dalle relazioni (3) e (3') 

 non possono coincidere, se r > 3, che per l :^^ r — 1 ; quando cioè k è del tipo 



5 — (r — 1) (3). Invece per r = 3 questa coincidenza ha luogo sempre (tanto 



se ^=1, quanto se 1 = 2). E nello spazio ordinario si trova precisamente che: Il 

 genere di una curva priva di punti doppi e giacente su di una quadrica è superato dal 

 genere massimo corrispondente all'ordine di essa di un numero che è sempre quadrato 

 perfetto o prodotto di due numeri naturali consecutivi, secondo che l'ordine anzidetto è 

 pari dispari (4). 



Osserviamo infine che le cose dette in questo § per curve prive di punti doppi 

 valgono anche per curve di genere n — k e con un certo numero k' di punti doppi, 

 purché al valore k dianzi considerato si sostituisca la differenza k — ¥. Ciò segue 

 immediatamente dalla formola cit. del sig. Seghe (Rend. Lincei, 1887), dalla quale 

 si deduce anche subito che la differenza k — k' non può mai essere negativa (5). 



riore a x (r — 1). — Il genere di una tal curva (supposta di ordine «) sarebbe infatti =(a; — l)n — ■ 

 — (2) »■ -F ("^2^ )• Di più, se n S.xir — 1), la g^^ segata su di essa dal sistema di tutte le M^_i 



di Sr è certo non speciale ; la dimensione di questa serie sarà perciò < »» -|- (f ) ; (^"J ), e per 



la curva stessa dovranno passare almeno C^^) — n — (f) r -\- C~^ ) — 1 varietà M^_i indipendenti. 

 Ma per la rigata non ne passano che {''~^'') — C^^} '' + (2) — ^ ('^f''- ^^ohe l'ultima nota al n° 1); 

 vi sarà quindi, nelle nostre ipotesi, un sistema lineare almeno 00^'*""" ' " di varietà M^_i passanti 

 per la curva C e non per la rigata, — il che basta a provare il nostro asserto. Questa proposi- 

 zione fu già dimostrata nel caso di a; = 2 (e in questo stesso modo) dal sig. Segee (Eecherches 

 générales etc, I, 20; ' Math. Ann. ,, XXX). 



(1) E un ordine certo abbastanza elevato possiamo determinarlo facilmente in ogni caso, osser- 

 vando che una curva priva di punti doppi e tracciata su di una rigata razionale normale in modo 

 da incontrarne ogni generatrice in x punti può sempre ottenersi come intersezione della stessa 



rigata con una varietà M^_j , purché il suo ordine sia inferiore a ì x-\ — i"!! '" — ^ ( ~l~ ■'■• ^^ dimo- 

 strazione si conduce in modo affatto analogo a quella della nota precedente. 



(2) Per la distinzione delle rigate razionali in grupjyi, v. C. Segke: Sulle rigate razionali in uno 

 spazio lineare qualunque (" Atti della R- Acc. delle Scienze di Torino „, voi. XIX). — E si noti che 

 questa diversità fra i vari gruppi si presenta già, come vedi-emo subito, per i valori più piccoli di h. 



(3) Allora infatti la (3) e la (3') si riducono entrambe a n^\ ... (mod. » — 1). 



(4) Questa proposizione si trova sostanzialmente già in Halphen (" Compt. Rend. ,, t. 70). 



(5) Il sig. Castelnuovo nella Nota cit. dei Rend. di Palermo (n" 10) ha dimostrato anzi che questa 

 stessa differenza h — ^' è sempre ^ per qualsiasi curva (irriduttibile) C" di Sr (in altri termini, 

 che il numero le dei punti doppi di una Cp deve essere ■SLir — p). 



