348 GIKO FANO 



§ 4. 



Varietà basi di un sistema lineare cx)C2^)-' di quadriche. 

 Dimostrazione di un teorema relativo a questi sistemi. 



?. Fatte queste poche osservazioni sulle curve contenute in una rigata razionale 

 normale R'"' di S,, e quindi in Ci') quadriche indipendenti (e non in un numero 

 maggiore, se l'ordine loro supera 2r — 2), torniamo allo studio delle curve C^ di S, 

 contenute in sistemi di quadriche di dimensione soltanto fi') — i; (i > 1). 



E proponiamoci anzitutto la questione analoga a quella di cui si occupa il 

 sig. Castelnuovo al n" 30 delle sue Ricerche: la determinazione cioè delle possibili 

 varietà basi di questi sistemi. Si vede facilmente che nello spazio S^ un sistema 

 lineare di quadriche di dimensione ('7') — i non può avere (almeno per i < r — 2) 

 una varietà base appartenente a S^ stesso e di dimensione superiore a due. Suppo- 

 niamo infatti che un tal sistema di quadriche abbia una M3 base (irriduttibile) ap- 

 partenente a Sr. Segandolo con un Sr_3 non contenuto in alcuna sua quadrica, — il 

 che (come osserva anche il sig. Castelnuovo per il caso di i = 1) è sempre possi- 

 bile — , avremo in questo spazio un sistema lineare di quadriche (Mf_4) pure di 

 dimensione Cl^) — i, q con x punti basi — in generale — dei quali possiamo anche 

 supporre che mai A; -|- 1 {k ^r — 3) stiano in uno stesso Si_i. Se fosse dunque 

 X > i — 1 , bisognerebbe che le Mf_4 passanti per i — 1 (e forse anche meno) di 

 quegli X punti passassero di conseguenza anche pei rimanenti, e ciò per i < r — 2 

 ossia i — 1 < r — 3 (come qui supponiamo) non è certo possibile. Dovrà dunque 

 essere x <i — 1 e quindi, a fortiori, < r — 3, mentre invece è noto che una M3 

 appartenente a S, deve essere di ordine almeno uguale a r — 2. Concludiamo perciò: 



Se un sistema lineare di quadriche di S^ di dimensione ('7') — i ha infiniti punti 

 basi, questi, finché i < r — 2, non possono costituire, di varietà appartenenti a S^, che 

 curve superficie. Se vi è una varietà base di dimensione superiore a due, questa deve 

 essere contenuta in uno spazio inferiore a S, (1). 



8. Ciò posto, seghiamo la curva C" (che supponiamo irriduttibile) con un iper- 

 piano (S,_i) tale che delle sue n intersezioni con essa r qualunque siano linearmente 

 indipendenti. Il sistema di quadriche proposto verrà segato dallo stesso S,_i in un 

 nuovo sistema, pure di dimensione Ci') — i e con quelle n intersezioni per punti 

 basi; e poiché le quadriche tutte di S,_, formano un sistema di dimensione Ct') — 1, 

 è chiaro che in questo nuovo sistema ogni quadrica passante per 



1 {'V) - 1 ( - ) {'!') - i ( = 2 (r - 1) 4- i 



. (1) Si può dimostrare anzi più generalmente (e in modo aifatto analogo) che un sistema lineare 

 di quadriche (di Sr) di dimensione uguale o superiore a (''"2''" ) '*"" P"'* avere una varietà base di 

 dimensione (uguale superiore a) k e appartenente pure a Sr. 



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