SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 349 



di quegli stessi n punti dovrà (se « > 2(r — 1) -f- t) contenere di conseguenza i 

 rimanenti (1). 



Si può prevedere fin d'ora che, se n supererà un certo limite, quelle quadriche 

 di S,_i dovranno avere, non solo questi n, ma infiniti punti (ossia tutta una curva) 

 a comune (2); ciò perchè un sistema lineare di quadriche di data dimensione e con 

 un numero finito di punti basi ammette necessariamente, per questo stesso numero, 

 un massimo (3). Si tratterebbe ora di trovare appunto questo massimo per il nostro 

 sistema, di dimensione ( t') — i, in S^-i (essendo pur sempre i < r — 2). 



La questione è piuttosto complicata, ma possiamo dare tuttavia un teorema che 

 ci sembra notevole e dal quale potremo poi ricavare nei §§ seg. (almeno per i casi 

 di t = 2 e i ;^ 3) risultati della natura di quelli che testé andavamo cercando, e 

 che si collegheranno anche con quelli già ottenuti nei §§ precedenti. Ragioneremo, 

 per comodità, nello spazio S, , e supporremo perciò il sistema di quadriche assog- 

 gettato a 2r -\- i (anziché a 2 (r — 1 ) -f- i) condizioni. 



9. Il teorema del quale intendiamo parlare é il seguente : 

 Se nello spazio S, si ha un gruppo di 2{r -\- i) -\- 1 punti indipendenti (4) e tali 

 che le quadriche passanti per 2r -f- i qualunque fra essi passino sempre di conseguenza 

 per i rimanenti i -|- 1, questi punti staranno tutti sopra una varietà Mi"'"*"' = ce' ra- 

 zionale normale di S,_i, che sarà anche segata in una Mj'rJ dall' S,. 2 di t — 1 qua- 

 lunque fra quei punti (5). 



Consideriamo infatti rS,_2 di r — 1 qualunque fra i punti proposti (Ai, A2, ..., A,_i), 

 e chiamiamolo a. Costruiamo poi le curve razionali normali di ordine r che hanno a 

 per spazio (r — 1) - secante e passano per altri r -)- 1 fra i punti dati (Bi, Bj, ..., B^+i) 

 e rispett. per altri i ancora fra quegli stessi punti (C,, Cj, ..., C,). Congiungendo i 

 vari gruppi di punti di ■ queste curve che stanno in un iperpiano variabile attorno 



(1) Si può dire anzi che, se rS,._j di cui sopra è stato scelto in modo generale, ogni quadrioa 

 passante per 2 (»• — 1) 4- i qualunque fra questi ii punti dovrà passare di conseguenza anche pei 

 rimanenti; impongano pure o non impongano quei primi 2 (r — l)-\-i condizioni tutte distinte. 



(2) E quindi le quadriche di Sr passanti per la curva C" dovranno avere a comune tutta una 



superficie. 



(■/-') 



(3) La questione, trasportata sulla varietà M jl , j di S(r-i)(r+2) ohe rappresenta il sistema di 



tutte le quadriche di S,._j, si tradurrebbe così: Se la varietà M ha comune con uno spazio Ss un 

 numero fitiito di punti, questo numero non potrà superare un certo limite; e questo può ritenersi 

 evidente. E alla stessa questione può anche darsi la forma seguente, pure notevole : Sulla curva di 



ordine 2 ~ (e di genere (r — 4) 2 ~ -\- \) intersezione generale di ì 2 quadriche in Sr— l l'ordine 



di una serie lineare di gruppi di punti di data dimensione non può scendere al di sotto di un certo 

 limite (che dipenderà naturalmente da questa dimensione). 



(4) Anche per i punti, come già per le quadriche, ci permettiamo di dire semplicemente indi- 

 pendenti, sottintendendo per brevità il linearmente. Avvertiamo poi che , per i punti , questa indi- 

 pendenza dovrà sempre intendersi come relativa (per così dire) allo spazio in cui si sa che i pu?iti 

 stessi sono contenuti. Se siamo quindi in Si, intenderemo (soltanto) che mai k -]- 1 fra quei punti 

 stiano in uno stesso S;;_j. 



(5) Variando questi ultimi punti, potrà variare però la M^~ ; e questo apparirà anche dalla 

 dimostrazione che ora daremo. 



