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ad a mediante altrettanti Si_i, otterremo una serie semplice razionale di spazi, il 

 cui insieme costituirà una Mr~'+' normale (1). Lo spazio a incontrerà quei vari Si_i 

 secondo altrettanti S,_2, quindi la varietà M, secondo una M,_i che risulterà di or- 

 dine r — i, e potrà anche scindersi in una M^Zl"* irriduttibile e in h spazi S,_i 

 (contenenti rispett. altrettanti S,_2 di questa M,_i). 



Ora, la varietà M'"'"*"' è contenuta in {'~'i'^^) quadriche indipendenti di S, (2), e 

 di queste si vede facilmente che, se « < r — 1 (3), ve ne sono certo almeno oo'"'"' 

 che contengono lo spazio a. Nel caso estremo i=^ r — 1 la varietà M-"'"*"' è essa 

 stessa una quadrica passante per questo spazio ; se invece « < r — 2 (e cosi noi 

 supporremo sempre in seguito), vi saranno certo infinite quadriche passanti per la 

 varietà M'"'"*"' e per lo spazio a, e queste non passeranno di conseguenza per nessun 

 altro punto (e saranno precisamente co'"'"^') (4). Ma queste quadriche passano già 

 tutte per i 2r -{- i punti Ai ... Ar_,, Bi...Br+i, Ct... C^; dovranno dunque passare 

 anche per gli altri i -|- 1 punti proposti (Di, Dj, ..., Dia.i); e questi ultimi, non po- 

 tendo alcuno di essi stare nello spazio a, saranno tutti contenuti nella varietà M[ '"'''. 

 Faremo vedere ora che questa stessa varietà (ossia la M^r; sua intersezione collo 

 spazio a) deve contenere anche gli r — 1 punti A. 



Lo spazio a, come abbiamo già detto, sega infatti la varietà Mr~'+' in una Mji| 

 che può anche spezzarsi in una MlzI'* irriduttibile e in h spazi S,_i. È chiaro che 

 fra gli Sr_3 determinati dai punti A a r — 2 per volta ve ne sarà certo (almeno) 

 uno non contenente (per stare nel caso piìi generale) la M'',ll~'' {h > 0); questo stesso 

 spazio (che chiameremo a,) potrà contenere tuttavia un certo numero h' degli h 

 spazi S, _i, e segherà allora i rimanenti h — h' in altrettanti Si_2, e la varietà 

 M^rJ"'" in una M^l!"*'''' dalla quale potrà ancora staccarsi qualche altro S,_2; l'or- 

 dine complessivo però di questa M._2, compresivi tutti gli S,_2 (anche quei primi 

 h — /»'), sarà r — i — 2/i'. — Fra gli r — 2 punti A con cui si è determinato lo 

 spazio Oi scegliamone ora r — 3 il cui S,._4 (a.) non contenga la Mj .j irriduttibile 

 testé ottenuta; questo spazio a^ potrà contenere della sezione precedente un certo 

 numero h" di S,_i e un certo numero /' di S,_j (oltre agli h' — h" in cui sega i 



(1) L'ordine di questa varietà si può stabilirlo con successive induzioni, partendo dai valori più 

 semplici di i. Che se poi il gruppo delle i intersezioni variabili di cui sopra fosse sempre conte- 

 nuto in un S,_2, si giungerebbe a una varietà M^Zl per la quale potrebbero farsi passare infi- 

 nite M*^~'~'~ , segate anche da a altrettanti una Mj-_j ^ 



(2) Ciò essendo vero per i valori più semplici di i(i = Q, 1, 2) ne segue facilmente che per la 

 M^~' non possono certo passare più di {'^~2 ) quadriche indipendenti. Osservato poi che, perchè 

 una quadrica contenga la M.^~ , è certo sufficiente che ne contenga due sezioni piane e un punto 

 fuori di queste, si può tosto concludere (ammessa sempre la proposizione per i valori più piccoli 

 di i) che il numero di quelle quadriche non può nemmeno essere inferiore a (''~2 )• ^^ proposi- 

 zione sussiste tanto se la Mt è irriduttibile, quanto se da essa si stacca un numero qualunque 

 di Si (passanti per altrettanti S,-_i della Mi residua irriduttibile). 



(3) Restrizione che corrisponde alla « < » 2 del n° 7, perchè qui siamo passati da S,._i a Sr. 



(4) Se queste quadriche passassero infatti tutte per un altro punto qualsiasi di S. , segando 

 coirSy_i di questo punto e di a, si avrebbero nello stesso iperpiano almeno 00''— '~^ quadriche 

 contenenti un dato S^_2, un dato S,'_i (intersezione residua deirS,._j colla varietà Mi) e un dato 

 punto fuori di questi due spazi, il che è assm'do. Lo stesso ragionamento, astraendo da quest'ultimo 

 punto, prova altresì che quelle quadriche sono precisamente 00''— '—i (e non di più). 



