SOPRA LE CURVE DI DATO OlìDIKE, ECC. 351 



rimanenti S,_i), e l'incontrerà poi ancora in una ]y;j-->-2'i'-''"-2'' dalla quale potrà 

 staccarsi un certo numero di S,_3. Così continuando, giungeremo a un S,_i_i (P) pas- 

 sante per r — i punti A e incontrante la varietà M[~'"''' secondo un certo numero 



w,_i di spazi S,_i, un certo numero «,_2 di spazi S,_j, un certo numero Wq 



di punti. 



Per la sezione determinata dallo spazio ai {h' spazi S,_i e una Mlià"^''') si ha 

 la relazione : 



2.h' -\-l.ir — i~2h') = r — i. 



Per quella successiva (h" spazi Sj_i, h' — h" -{- l spazi S,_2 e una M-_3~^'''"''"''^") 

 si ha del pari 



S.h" + 2. ih' — h" -\-l') + 1 . (r — i - 2h' - h" - 21') ^r-i 



e così via. Per l'ultima si avrebbe (e lo si potrebbe provare facilmente col solito 

 metodo dell'induzione da un caso qualunque al successivo) 



i . Wi_i 4- (i — 1) . W,_2 -|- -\- 2 . Hi -\- 1 . Ho = ì- — i (1). 



Quest'ultima sezione potrebbe essere costituita in particolare da un gruppo di r — i 

 punti ; ma le nostre considerazioni più generali sono egualmente necessarie, non poten- 

 dosi asserire a priori che fra gli Sr_i_i determinati da r — « fra i punti A ve ne 

 debba sempre essere uno che incontri M in soli /• — i {e non in infiniti) punti. 



D'altra parte, dal fatto che per la varietà M[~'"'"' e per lo spazio a passano 

 precisamente x)''"'"' quadriche segue tosto che si può scegliere (e in infiniti modi) 

 un sistema lineare di dimensione Ci') — 1 costituito da quadriche passanti tutte 

 per la varietà Mj""*"' e non per a; e perciò ogni quadrica di quest'ultimo spazio 

 passante per la M'Z; di cui sopra potrà ottenersi come sezione di una quadrica di S^ 



passante per la Mi stessa (e non per a). — Analogamente, fra le co>- ^ ' quadriche 

 di a che passano per la sezione ìlL'cl ve ne sono co^'~^ che contengono lo spazio a^ (2); 

 si potrà quindi dal loro sistema stralciarne uno, pure lineare, di dimensione Ci) — h' — 1, 

 nel quale nessuna quadrica contenga quest' ultimo spazio. E questo stesso (ossia 



/r — i\ li -1 \ 



00 ^ ^ •' j è anche il numero delle quadriche dello spazio a, che passano per la 



sezione determinata da esso nella varietà M-iJ (o nella M,-"''''') (3) ; ciascuna di queste 



(1) In termini meno esatti ma forse più espressivi si potrebbe dire (ed è, d'altronde, anche 

 quasi evidente) che una retta contenuta in un S,-_i della M; conta in questa sezione come due 



punti, un piano come tre, eco. 



(2) E sono quelle che si spezzano in Oj stesso e in un S^_3 variabile attorno al- 



rS(,._,-_,i.._^/,-_j._j = S^_4'_2 della Mj^Z"|~' costituita dalla stessa MjJTi' meno gli /»' spazi S,-_j che 

 sono già contenuti in a,. 



(3) Infatti le quadriche indipendenti ohe contengono la M,-~2~ ' sono, nello spazio S,._2j'_3 cui 

 questa appartiene, (''""'g" ); e nello spazio S,._3 = a, 



fT^"') + (r- -M - 1) 4- (r - 2h') + + (,- - 2) = (%-') + -2h' {i - 1). 



Queste ultime devono ancora assoggettarsi a contenere h' spazi S,-_i , di ciascuno dei quali oonten- 



