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ultime sarà dunque sezione di una delle prime, ossia di una quadrica di Sr passante 

 per M-^'^' e non per ai. Fra quelle stesse quadriche dello spazio a, possiamo ora 

 trovarne un sistema lineare di dimensione C^'j — h' — 2/i" — /' — 1, nel quale nes- 

 suna varietà contenga lo spazio a^ (1); e questo numero è anche quello delle qua- 

 driche di ttj stesso che passano per la sezione determinata nella varietà M, da que- 

 st'ultimo spazio (2). Così continuando, si conclude facilmente che le quadriche dello 

 spazio P passanti per la sezione determinata da questo stesso spazio in M, sono 

 precisamente tante quante quelle di S^ che passano per M^~'+' e non per p (3); e 

 perciò una qualunque delle prime può sempre ottenersi come sezione di una di queste 

 ultime. In particolare, se fra quelle prime quadriche ne consideriamo una passante 

 per un certo numero , ad es. per r — i — 2 fra gli r — i punti A che stanno in (3 

 — supposta la cosa possibile — , la quadrica di S^ (passante per M,) di cui quest'ul- 

 tima quadrica può considerarsi come sezione dovrà pure contenere quegli stessi 

 punti. Ma questa quadrica di S^ passerà allora per la varietà M;~'+\ quindi per tutti 

 i punti Bi Ci Di (in numero di r -\- 2i -\- 2), e conterrà perciò complessiva- 

 mente già 2r -\- i fra i punti proposti; essa dovrà dunque contenere anche i rima- 

 nenti i -j- 1, e in particolare quegli altri due punti A che stanno in p. Questi ultimi 

 staranno perciò anche sulla quadrica di P prima considerata, ossia : 



" Le quadriche dello spazio p passanti per la sezione che questo spazio deter- 

 " mina nella varietà Mi e per r — i — 2 qualunque fra i punti A in esso spazio 

 " contenuti passano anche tutte per gli altri due fra questi stessi punti „. 



gono già un S,_3 fisso, e ciò equivale a nuove li (2j — 1) condizioni, ohe è facile anche riconoscere 

 come tutte distinte. E si ha precisamente: 



(""J') H- 1K (i-l - // &i - 1) = Ci"') - V. 



(1) E ciò perchè quest'ultimo spazio è a sua volta contenuto in un sistema lineare di quelle 

 stesse quadriche di dimensione W A^V — 1. Questo numero deve essere infatti quello degli &r—i 

 di ai che passano per la sezione determinata da «i stesso in M, astrazion fatta dagli Ti' spazi S ,-_j 

 e dagli l' spazi S,_2 già contenuti in Oj. Ora la M,_2 di Oi (compresivi tutti gli S,-_2 ) è di ordine 

 r — i — 27/; senza quegli t spazi resterà dunque di ordine r — i — 2K — 1\ e apparterrà perciò a un 

 [r — 2}i — t — 3]. E quest' ultimo spazio, insieme ai rimanenti ìi — h." spazi Sj_j , determina un 



[;• — 27i" — t — 3] pel quale in Oj passano appunto CO S»--4- 



(2) Per la sola Mj_3 di a^ (che, compresivi tutti gli S,_3, è di ordine r — i — ìH — A" — 21') 

 passano, nello spazio cui essa appartiene, C""'"- 2~ ~ ) quadriche indipendenti; nello spazio 02 

 ne passano invece Ci"') 4" (27/ + Ti" -|- 27') (i — 2). Queste ultime devono ancora obbligarsi a passare 

 per Ts' — W -\-t spazi S,_2 e per K' spazi S,_i (già segati in altrettanti Si(_^ fissi); il che equivale 

 complessivamente a (K — h" + 7') (2i — 8) -f- Ji' {Si — 3) condizioni (e ancora tutte distinte). E il numero 



Ci") + (2A' + h" + 21') a — 2) — {K — h" + t) {2i — 3) — h" {'di — 3) 



si riduce precisamente a 



(3) Questa proposizione sarebbe evidente quasi quando lo spazio P segasse M^~' in soli 

 r — i punti; allora non vi sarebbe anzi in a nessuna quadrica passante per la TA]~ì e per P. Ma, 

 come già si è detto, non possiamo asserire di poterci sempre ridurre a questo caso. 



