SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDIKE, ECC. 353 



Da ciò noi dedurremo subito che gli r — i punti A dello spazio p devono stare 

 tutti sulla sezione che questo spazio determina in M, (e quindi su Mi stessa). 



Abbiamo già veduto infatti come tale sezione sia costituita. Consideriamo per- 

 tanto uno qualunque S^ degli spazi in essa contenuti (o < )a < i — 1) (1), e poniamo 

 per brevità r — i — 1 ;= p. Fra gli r — i = p -[- 1 punti A dello spazio S^ = p 

 possiamo sempre trovarne uno non contenuto in S|i (2) ; poi un altro non contenuto 

 neir Sn+i di S^ e di questo primo punto, un terzo non contenuto neirS|a-|-2 di questo 

 Sm-i e del secondo punto, ecc. Possiamo infine, fra gli stessi p + !> trovarne p — |li 

 i quali insieme allo spazio S^i costituiscano un gruppo appartenente a S/>. Chiame- 

 remo questi punti A'J', AW, , A™^; i rimanenti, A'^', A(^), , AJ^). 



Dalla relazione i . tii^i -\- -\- no = r — « = p -j- 1 segue altresì che, tolto 



lo spazio S^, i rimanenti che con esso concorrono a formare la sezione di P colla 

 varietà M^ staranno certo in un Sf_^(_i. Considero ora lo spazio Sp_i s f determi- 

 nato da questo Sf_ft_i e da |li qualunque fra i punti A*^' (escludendone perciò uno 

 qualsiasi A*,') (3), e poi un altro S(,_i, che chiamo ò, determinato dall' S^ di cui 

 sopra e da p — |j — 1 qualunque fra i punti A'^' (tutti ad es. meno A'J'). Questa 

 coppia di Sp_i è una quadrica di Sf contenente già l'intera sezione P . M^ e p — 1 

 fra i punti A (tutti meno A'^^' e A'f ) ; la stessa quadrica dovrà dunque passare anche 

 per questi ultimi due punti. Ma A'5' non può stare in ò (perchè l'insieme di S^ e dei 

 punti A'^' appartiene a S^ ) ; starà dunque in f, e ciò qualunque sia l'indice t scelto 

 fra i numeri 1, 2, ... , p — )u; in altri termini, lo spazio t dovrà contenere tutti 

 quanti i punti A'"; e contenendo perciò complessivamente già p punti A, non potrà 

 più -contenere A'f. Quest'ultimo punto starà dunque in ò, e ciò ancora qualunque sia 



fra gli indici 0.1.2 n quello designato con s; in altri termini, tutti i m -|- 1 



punti A'"' dovranno stare nello spazio ò — e anzi in ciascuno dei p — |li spazi Sf—i 

 che congiungono l'S^ considerato da principio a p — |li — 1 qualunque dei punti A''' — ^,- 

 essi staranno perciò anche nell'S^ stesso che è precisamente l'intersezione di tutti 

 questi spazi. 



Segue da ciò che uno spazio qualunque S^ appartenente alla sezione p . Mj deve 

 contenere H-}" 1 ^^ i punti A dello spazio P; e questi punti varieranno anche tutti 

 da uno di quegli spazi all'altro, perchè due qualunque di questi ultimi non si incon- 

 trano (4). Avendosi poi la relazione Z(|Li-(-l)% = p-)-l, è chiaro che i p -|- 1 

 punti A verranno tutti assorbiti dai vari spazi S^ e staranno perciò tutti sulla se- 

 zione p . Mi. 



(1) Se detta sezione si componesse di (soli) r — i punti, non potrebbe essere, naturalmente, che 

 H = 0. Il nostro ragionamento vale però (come si vedrà subito) ancbe per questo caso. 



(2) Farebbe eccezione il solo caso in cui fosse H = p ; ma allora lo spazio Sp ^ p sarebbe tutto 

 contenuto in Mi , e su questa varietà starebbero perciò senz'altro tutti i p -f~ 1 punti A. 



(3) Per il momento, non si potrebbe ancora asserire obe lo spazio T rimanga con ciò indivi- 

 duato; certo però obe vi ò qualche Sf,_i passante per quell'S. m_i e per questi n punti. Dal 

 seguito del ragionamento apparirà poi che non può esservene che uno. 



(4) I vari spazi S|n sono contenuti infatti rispett. in altrettanti S,'_i di Mj"' ; e due qua- 

 lunque di questi Si_i non si incontrano, a meno che la varietà stessa non sia un cono — nel qual 

 caso ci converrà (e basterà) prendere lo spazio 3 non incidente all'asse (al piii S,'_2 ) di questo cono. 



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