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La varietà MJ~'+^ di S, contiene dunque certo {r — + ('' + 1) + * + (* ' + 1) 

 ossia 2r -\- i -\- 2 fra i punti proposti; conterrà perciò anche i rimanenti i — 1 

 (perchè le quadriche passanti per essa non passano, di conseguenza, per nessun altro 

 punto) ; e la proposizione enunciata al principio di questo n° rimane così dimostrata. 



Il teorema si estende manifestamente al caso di un numero di punti anche su- 

 periore a 2(r -j- i) -f- 1, purché sempre le quadriche passanti per 2r -\- i qualunque 

 fra questi passino di conseguenza anche pei rimanenti. — Nel caso di « = 1 questo 

 teorema coincide con quello già dato dal sig. Castelnuovo nelle sue Ricerche (n° 30); 

 veniamo quindi addirittura a svilupparne le conseguenze piìi importanti per il caso 

 ài i = 2. 



§ 5. 



Sistemi lineari co^'s')-^ di quadriche e loro varietà basi. 

 Superficie di ordine r a sezioni ellittiche. 



10. Facendo nel teorema del n° 9 i = 2, troviamo la proposizione seguente: 



Se nello spazio S, (r > 4) si ha un gruppo di 2r -|- 2 -f~ ^ punti indipendenti e 

 tali che le quadriche passanti per 2r -|- 2 qualunque fra essi passino sempre di conse- 

 guenza pei rimanenti s., questi punti, se x > 3, staranno tutti su di una rigata razio- 

 nale normale R'"^ {che sarà anche segata in una curva di ordine r — 2 dall' S^-ì di 

 r — 1 fra quei punti). 



Dico ora che, nella stessa ipotesi ic > 8, le quadriche passanti per quei primi 

 2r -|- 2 punti devono avere non solo x, ma infiniti altri punti a comune. Infatti, se 

 così non fosse, fra le quadriche passanti per quegli stessi punti se ne potrebbe certo 

 trovare qualcuna che incontrasse la rigata R'~' secondo una curva irriduttibile (di ordine 

 2r — 2 e genere r — 21 (1). Su questa curva le quadriche di S, segherebbe una 

 gt^ (2) ; imponendo loro perciò di passare per 2r -j- 2 fra i punti proposti (8), 

 rimarrebbe una girle con x punti fissi ; cosa che è evidentemente assurda per x>2. 



Concludiamo pertanto: 



Se nello spazio Sr (r > 4) si ha un gruppo di 2r -\- 5 o più punti indipendenti e 

 tali che le quadriche passanti per 2r -|- 2 qualunque fra essi passino sempre di conse- 

 guenza pei rimanenti, queste quadriche avranno a comune infiniti punti (e quindi tutta 

 una linea, gassante per una parte almeno di quegli stessi punti). 



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(1) Se questa curva dovesse necessariamente spezzarsi, se ne concluderebbe tosto ch'essa deve 

 contenere una parte fissa comune a tutte le quadriche passanti per i 2r-\-2-{-x punti proposti (e 

 passante a sua volta per una parte almeno di questi punti). Non sarà forse inutile l'osservare che 

 per questi stessi punti passa un sistema lineare (almeno) 00*^"" di quadriche non contenenti la 

 rigata R*""'. 



(2) Infatti la curva G/_^ sta precisamente su C^"^ ) + 1 quadriche indipendenti. 



(3) Punti ohe possiamo supporre impongano condizioni tutte distinte (se no si cadrebbe nel 

 caso di i = 1). 



